Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 34, 46, 41, 27, 56, 53, 35.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 50. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 562,5?
μ = 500σ = 50x = 562,5
P =
3.ProbabilidadMedia
Se lanza un dado equilibrado 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
n = 3
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 7 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 7p = 0,25k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 78,25 y 127 puntos? Da P como número decimal.
μ = 100σ = 15x1 = 78,25x2 = 127
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. Halla el valor x por debajo del cual queda el 80 % de los datos (el percentil 80).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 12 elementos tiene media 57 y desviación típica s = 6. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 12x̄ = 57s = 699%t(11) = 3,106
límite inferior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 26. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?
σ = 26E = 199%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 199 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199s = 4n = 49
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 200 frente a H₁: μ < 200 con α = 0.10 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 25. En realidad la media es 194.75. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
μ₀ = 200μ = 194,75σ = 25n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 5
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (16,5, 44). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(16,5, 44)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,58
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 292/7 = 41,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−7,714)² + 4,286² + (−0,7143)² + (−14,71)² + 14,29² + 11,29² + (−6,714)² = 671,4
Desviación típica
s = √(671,4/6) = 10,58
Respuesta
s = 10,58
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8944
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1,25
Tabla de la normal estándar
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Respuesta
P = 0,8944
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,4213
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementario
P(ningún seis) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Respuesta
P = 0,4213
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,3115
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 21·0,252·0,755 = 21·0,0625·0,2373 = 0,3115
Respuesta
P = 0,3115
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8905
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45
z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8
Área entre ambos valores
P = Φ(1,8) − Φ(−1,45) = 0,9641 − 0,07353 = 0,8905
Respuesta
P = 0,8905
6.Distribución normal
Respuesta: x = 533,7 h
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Vuelta a x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Respuesta
x = 533,66 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 51,62
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Margen de error
E = 3,106·6/√12 = 5,38
Intervalo
57 ± 5,38 → [51,62, 62,38]
Respuesta
límite inferior = 51,62
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 4486
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·26/1)² = 4486
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 4486
Respuesta
n = 4486
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −1,75
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Estadístico de contraste
t = (199 − 200)/0,5714 = −1,75
Respuesta
t = −1,75
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: 1 − β = 79,33 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media muestral crítica
SE = 25/√100 = 2,5
x̄c = 200 − 1,282·2,5 = 196,8
z con la media verdadera
z = (196,8 − 194,75)/2,5 = 0,818
Potencia
potencia = P(Z < 0.818) = 79.33%
1 − β = 79,33%
Respuesta
1 − β = 79,33%
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,9492
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 164/5 = 32,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 194,8
Coeficiente de determinación
r² = 43²/(10·194,8) = 0,9492
Respuesta
r² = 0,9492
Aproximadamente el 94,92 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 2,052
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 359/6 = 59,83
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 469,5
Recta de regresión
b = 469,5/157,5 = 2,981
a = 59,83 − 2,981·22,5 = −7,238
ŷ = −7,238 + 2,981·x
Valor predicho
ŷ = −7,238 + 2,981·16,5 = 41,95
Residuo
e = 44 − 41,95 = 2,052
Respuesta
e = 2,052
El punto está por encima de la recta.
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