Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 31, 12, 32, 41, 45, 31.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 118,8?

μ = 100σ = 15x = 118,8

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,2, 0,1, 0,3, 0,15

σ =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 3 €. Ganas 6 € con probabilidad 0,1 y 150 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €3€6: p = 0,1€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,8859. Halla z con dos decimales.

A = 0,8859

z =

6.Distribución normalDifícil

Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 40 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 100 puntosσ = 15 puntos40%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Un intervalo de confianza del 95 % para una media, basado en 64 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 9,7. ¿Cuál es el margen de error E₂ si el mismo estudio usa 128 observaciones?

95%n₁ = 64E₁ = 9,7n₂ = 128

E₂ =

8.Intervalos de confianzaDifícil

Los diámetros de 30 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 4,9 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 29, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 16,047 y el 2,5 % queda por encima de 45,722.

n = 30s = 4,9 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 98,71 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,71s = 5n = 49

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 49 medidas tiene media 101,4. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.

x̄ = 101,4σ = 10n = 4990%

U =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (24,5, 122). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 122)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 11,42

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 192/6 = 32

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−20)² + 0² + 9² + 13² + (−1)² = 652

Desviación típica

s = √(652/5) = 11,42

Respuesta

s = 11,42

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,8944

Tipificar

z = 1,25

Tabla de la normal estándar

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Respuesta

P = 0,8944

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,446

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,1 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,9

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,1 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,5

Varianza

Var(X) = 10,5 − 2,9² = 2,09

σ = √2,09 = 1,446

Respuesta

σ = 1,446

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,9 €

Resultados netos

G: 3 (p = 0,1), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)

Valor esperado

E(G) = 3·0,1 + 147·0,01 − 3·0,89 = −0,9 €

Respuesta

E(G) = −0,9 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,58

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = (1 + 0,8859)/2 = 0,9429

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,9429 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,58

Respuesta

z = 1,58

6.Distribución normal

Respuesta: x = 96,3 puntos

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,4

z según la tabla

z ≈ −0,25

De vuelta a las unidades originales

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 puntos

Respuesta

x = 96,3 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E₂ = 6,859

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Relación de márgenes

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/128) = 0,7071

Nuevo margen

E₂ = 9,7·0,7071 = 6,859

Respuesta

E₂ = 6,859

8.Intervalos de confianza

Respuesta: σ = 3,902 µm

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 29·4,9² = 696,3

Límites para σ²

696,3/45,722 = 15,23

696,3/16,047 = 43,39

Límite para σ

σ = √15,23 = 3,902 µm

Respuesta

σ = 3,902 µm

Intervalo del 95 % para σ: [3,902, 6,587] µm.

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,806

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Estadístico de contraste

t = (98,71 − 100)/0,7143 = −1,806

Respuesta

t = −1,806

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 103,8

Margen de error

E = 1,645·10/√49 = 2,35

Límite del intervalo

U = 101,4 + 2,35 = 103,8

Respuesta

U = 103,8

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9257

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 308/6 = 51,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 187,3

Coeficiente de correlación

r = 53/√(17,5·187,3) = 0,9257

Respuesta

r = 0,9257

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 4,833

Medias

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 703/6 = 117,2

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 700,5

Recta de regresión

b = 700,5/157,5 = 4,448

a = 117,2 − 4,448·24,5 = 8,2

ŷ = 8,2 + 4,448·x

Valor predicho

ŷ = 8,2 + 4,448·24,5 = 117,2

Residuo

e = 122 − 117,2 = 4,833

Respuesta

e = 4,833

El punto está por encima de la recta.

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