Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 21, 12, 42, 45, 41, 33, 23.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 60. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 590?
μ = 500σ = 60x = 590
P =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 7 bolas rojas y 9 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
7 / 9
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 8 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 4?
n = 8p = 0,25k = 4
P =
5.Distribución normalMedia
X es normal con media 60 s y desviación típica 5 s; Y es independiente y normal con media 45 s y desviación típica 4 s. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 101,8 s. Redondea z a dos decimales.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101,8 s
P =
6.Distribución normalDifícil
Las alturas X de los hombres e Y de las mujeres de un grupo son independientes y normales: X tiene media 180 cm y desviación típica 10 cm, Y tiene media 170 cm y desviación típica 12 cm. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 25 elementos tiene media 95,5 y desviación típica s = 8,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 25x̄ = 95,5s = 8,599%t(24) = 2,797
límite inferior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 15. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?
σ = 15E = 2,590%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 51,5 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,5s = 10n = 64
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 25 medidas tiene media 66,3. La desviación típica poblacional es 15. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 66,3σ = 15n = 2590%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 20Σy = 302Σx² = 90Σy² = 18444Σxy = 1250
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (9, 53). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(9, 53)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 12,56
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 217/7 = 31
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−19)² + 11² + 14² + 10² + 2² + (−8)² = 946
Desviación típica
s = √(946/6) = 12,56
Respuesta
s = 12,56
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,06681
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1,5
Tabla de la normal estándar
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Respuesta
P = 0,06681
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,175
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175
Respuesta
P = 0,175
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,08652
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 4) = 70·0,254·0,754 = 70·0,003906·0,3164 = 0,08652
Respuesta
P = 0,08652
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,6915
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la suma
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Tipificar
z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5
Cola superior
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Respuesta
P = 0,6915
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7389
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Tipificar
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Probabilidad
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Respuesta
P = 0,7389
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 90,75
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margen de error
E = 2,797·8,5/√25 = 4,755
Intervalo
95,5 ± 4,755 → [90,75, 100,3]
Respuesta
límite inferior = 90,75
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 98
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·15/2,5)² = 97,42
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 98
Respuesta
n = 98
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 1,2
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Estadístico de contraste
t = (51,5 − 50)/1,25 = 1,2
Respuesta
t = 1,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 61,36
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Límite del intervalo
L = 66,3 − 4,935 = 61,36
Respuesta
L = 61,36
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9317
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 1250 − 20·302/5 = 42
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 18444 − 302²/5 = 203,2
Coeficiente de correlación
r = 42/√(10·203,2) = 0,9317
Respuesta
r = 0,9317
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −3,4
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 312/6 = 52
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Recta de regresión
b = 154/70 = 2,2
a = 52 − 2,2·7 = 36,6
ŷ = 36,6 + 2,2·x
Valor predicho
ŷ = 36,6 + 2,2·9 = 56,4
Residuo
e = 53 − 56,4 = −3,4
Respuesta
e = −3,4
El punto está por debajo de la recta.
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