Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 57, 12, 57, 20, 26, 41, 57.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 25. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 525?

μ = 500σ = 25x = 525

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,3

σ =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 2 €. Ganas 4 € con probabilidad 0,2 y 100 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €2€4: p = 0,2€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,6950. Halla z con dos decimales.

A = 0,6950

z =

6.Distribución normalDifícil

Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 15 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 21 elementos tiene media 83,5 y desviación típica s = 11,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 21x̄ = 83,5s = 11,599%t(20) = 2,845

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

No se sabe nada de antemano sobre la proporción de productos defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 99 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 25 estudiantes tiene una nota media de 498,6 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,6s = 5n = 25

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 5 unidades con una potencia del 90 %. La desviación típica es 25. Halla el tamaño muestral mínimo n.

α = 0,01potencia = 90%δ = 5σ = 25z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (2,5, 23). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 23)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 19,29

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 270/7 = 38,57

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 18,43² + (−26,57)² + 18,43² + (−18,57)² + (−12,57)² + 2,429² + 18,43² = 2234

Desviación típica

s = √(2234/6) = 19,29

Respuesta

s = 19,29

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,8413

Tipificar

z = 1

Tabla de la normal estándar

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Respuesta

P = 0,8413

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 2,107

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,15 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,3 = 3,4

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,3 = 16

Varianza

Var(X) = 16 − 3,4² = 4,44

σ = √4,44 = 2,107

Respuesta

σ = 2,107

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,2 €

Resultados netos

G: 2 (p = 0,2), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)

Valor esperado

E(G) = 2·0,2 + 98·0,01 − 2·0,79 = −0,2 €

Respuesta

E(G) = −0,2 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: z = −0,51

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,6950 = 0,3050

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,3050 dentro de la tabla y lee z.

z = −0,51

Respuesta

z = −0,51

6.Distribución normal

Respuesta: x = 255,2 g

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,85

z según la tabla

z ≈ 1,04

De vuelta a las unidades originales

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Respuesta

x = 255,2 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 90,64

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margen de error

E = 2,845·11,5/√21 = 7,14

Intervalo

83,5 ± 7,14 → [76,36, 90,64]

Respuesta

límite superior = 90,64

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Redondear hacia arriba

n = 2655

Respuesta

n = 2655

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,4

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Estadístico de contraste

t = (498,6 − 500)/1 = −1,4

Respuesta

t = −1,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 326

Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = ((2,326 + 1,282)·25/5)² = 325,4

Redondear hacia arriba

n = 326

Respuesta

n = 326

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,8324

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 69,2

Coeficiente de determinación

r² = −24²/(10·69,2) = 0,8324

Respuesta

r² = 0,8324

Aproximadamente el 83,24 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 3,9

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Recta de regresión

b = −18/10 = −1,8

a = 18,2 − (−1,8)·3 = 23,6

ŷ = 23,6 − 1,8·x

Valor predicho

ŷ = 23,6 + (−1,8)·2,5 = 19,1

Residuo

e = 23 − 19,1 = 3,9

Respuesta

e = 3,9

El punto está por encima de la recta.

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