Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 13, 50, 58, 26, 49, 54.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 70 y desviación típica 20. Calcula la puntuación z z de una nota de 78.
μ = 70σ = 20x = 78
z =
3.ProbabilidadMedia
Se lanza un dado equilibrado 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
n = 3
P =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = −2X + 10. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 10
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,0150. Halla z con dos decimales.
A = 0,0150
z =
6.Distribución normalDifícil
El tiempo por vuelta X del corredor A y el tiempo por vuelta Y del corredor B son independientes y normales: X tiene media 52 s y desviación típica 4 s, Y tiene media 48 s y desviación típica 3 s. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 21 elementos tiene media 99 y desviación típica s = 11,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 21x̄ = 99s = 11,590%t(20) = 1,725
límite inferior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 11. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?
σ = 11E = 195%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 498,2 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 8n = 16
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 16 medidas tiene media 70,8. La desviación típica poblacional es 12. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 70,8σ = 12n = 1699%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 100?
n = 5ŷ = 100
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 17,94
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 250/6 = 41,67
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−28,67)² + 8,333² + 16,33² + (−15,67)² + 7,333² + 12,33² = 1609
Desviación típica
s = √(1609/5) = 17,94
Respuesta
s = 17,94
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 0,4
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (78 − 70)/20 = 0,4
Respuesta
z = 0,4
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,4213
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementario
P(ningún seis) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Respuesta
P = 0,4213
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 1,673
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Cambio lineal
σY = |−2|·0,8367 = 1,673
Respuesta
σY = 1,673
La media sí se desplaza: E(Y) = −2·1 + 10 = 8.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 2,17
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,0150 = 0,9850
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9850 dentro de la tabla y lee z.
z = 2,17
Respuesta
z = 2,17
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7881
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Tipificar
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilidad
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Respuesta
P = 0,7881
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 94,67
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Margen de error
E = 1,725·11,5/√21 = 4,329
Intervalo
99 ± 4,329 → [94,67, 103,3]
Respuesta
límite inferior = 94,67
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 465
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·11/1)² = 464,8
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 465
Respuesta
n = 465
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −0,9
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Estadístico de contraste
t = (498,2 − 500)/2 = −0,9
Respuesta
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 63,07
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·12/√16 = 7,728
Límite del intervalo
L = 70,8 − 7,728 = 63,07
Respuesta
L = 63,07
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,98
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 515/5 = 103
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2070
Coeficiente de correlación
r = 423/√(90·2070) = 0,98
Respuesta
r = 0,98
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 22,99
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 426/5 = 85,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198
Recta de regresión
b = 198/40 = 4,95
a = 85,2 − 4,95·20 = −13,8
ŷ = −13,8 + 4,95·x
Despeja x
x = (100 − (−13,8))/4,95 = 22,99
Respuesta
x = 22,99
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1