Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 15, 20, 53, 34, 51, 13, 60.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 62?

μ = 50σ = 20x = 62

P =

3.ProbabilidadMedia

Se lanza un dado equilibrado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?

n = 5

P =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 2 €. Ganas 4 € con probabilidad 0,2 y 40 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €2€4: p = 0,2€40: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,0465. Halla z con dos decimales.

A = 0,0465

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.Intervalos de confianzaMedia

Un intervalo de confianza del 95 % para una media, basado en 50 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 2,8. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 90 % basado en 200 observaciones?

95%n₁ = 50E₁ = 2,890%n₂ = 200

E₂ =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 14. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?

σ = 14E = 390%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 30 piezas tiene una longitud media de 103,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 4 mm. Línea 2: una muestra de 30 piezas tiene una media de 99 mm, con desviación típica conocida de 11 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).

n₁ = 30x̄₁ = 103,5 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 99 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 180 de 300 pacientes con el tratamiento A y 136 de 200 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 136n₂ = 200

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 76?

n = 5ŷ = 76

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 19,64

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 246/7 = 35,14

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−20,14)² + (−15,14)² + 17,86² + (−1,143)² + 15,86² + (−22,14)² + 24,86² = 2315

Desviación típica

s = √(2315/6) = 19,64

Respuesta

s = 19,64

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,7257

Tipificar

z = 0,6

Tabla de la normal estándar

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Respuesta

P = 0,7257

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,5981

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementario

P(ningún seis) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Respuesta

P = 0,5981

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,8 €

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Resultados netos

G: 2 (p = 0,2), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)

Valor esperado

E(G) = 2·0,2 + 38·0,01 − 2·0,79 = −0,8 €

Respuesta

E(G) = −0,8 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,68

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,0465 = 0,9535

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,9535 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,68

Respuesta

z = 1,68

6.Distribución normal

Respuesta: x = 41,87 min

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Vuelta a x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Respuesta

x = 41,87 min

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E₂ = 1,175

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Relación de márgenes

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/200) = 0,4196

Nuevo margen

E₂ = 2,8·0,4196 = 1,175

Respuesta

E₂ = 1,175

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 59

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = (1,645·14/3)² = 58,93

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 59

Respuesta

n = 59

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 2,106

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Error típico de la diferencia

SE = √(4²/30 + 11²/30) = √4,567 = 2,137

Estadístico de contraste

z = (103,5 − 99)/2,137 = 2,106

Respuesta

z = 2,106

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −1,817

Proporciones muestrales

p̂₁ = 180/300 = 0,6

p̂₂ = 136/200 = 0,68

p̂ = 316/500 = 0,632

Error típico bajo H₀

SE = √(0,632·0,368·(1/300 + 1/200)) = 0,04402

Estadístico de contraste

z = (0,6 − 0,68)/0,04402 = −1,817

Respuesta

z = −1,817

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9766

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 295/5 = 59

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 256

Coeficiente de determinación

r² = 50²/(10·256) = 0,9766

Respuesta

r² = 0,9766

Aproximadamente el 97,66 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 18,06

Medias

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 409/5 = 81,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Recta de regresión

b = 248/40 = 6,2

a = 81,8 − 6,2·19 = −36

ŷ = −36 + 6,2·x

Despeja x

x = (76 − (−36))/6,2 = 18,06

Respuesta

x = 18,06

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