Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 34, 27, 25, 40, 51, 41, 48.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 100. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 450?

μ = 500σ = 100x = 450

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 10 €. Ganas 20 € con probabilidad 0,1 y 200 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €10€20: p = 0,1€200: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. ¿Qué fracción está entre 25,1 y 33,2 min? Da P como número decimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 33,2

P =

6.Distribución normalDifícil

Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 60 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 20 elementos tiene media 85 y desviación típica s = 11,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 20x̄ = 85s = 11,595%t(19) = 2,093

E =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 29. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2?

σ = 29E = 295%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se afirma que la media de una población es 50; se sabe que la desviación típica poblacional es 18. Una muestra aleatoria de 144 observaciones tiene una media de 52,04. Contrasta H₀: μ = 50 frente a H₁: μ ≠ 50. Halla el p-valor p.

μ₀ = 50σ = 18n = 144x̄ = 52,04H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 36 medidas tiene media 204,2. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.

x̄ = 204,2σ = 10n = 3699%

L =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (1,5, 26). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 26)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 9,899

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 266/7 = 38

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−11)² + (−13)² + 2² + 13² + 3² + 10² = 588

Desviación típica

s = √(588/6) = 9,899

Respuesta

s = 9,899

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,3085

Tipificar

z = −0,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Respuesta

P = 0,3085

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 4,51

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,3 = 3,3

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,3 = 15,4

Varianza

Var(X) = 15,4 − 3,3² = 4,51

Respuesta

Var(X) = 4,51

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −6 €

Resultados netos

G: 10 (p = 0,1), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)

Valor esperado

E(G) = 10·0,1 + 190·0,01 − 10·0,89 = −6 €

Respuesta

E(G) = −6 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,4542

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Área entre ambos valores

P = Φ(0,2) − Φ(−1,15) = 0,5793 − 0,1251 = 0,4542

Respuesta

P = 0,4542

6.Distribución normal

Respuesta: x = 248,8 g

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,4

z según la tabla

z ≈ −0,25

De vuelta a las unidades originales

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Respuesta

x = 248,8 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 5,382

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Margen de error

E = 2,093·11,5/√20 = 5,382

Respuesta

E = 5,382

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 808

Despejar n

n = (1,96·29/2)² = 807,7

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 808

Respuesta

n = 808

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: p = 0,1738

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estadístico de contraste

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (52,04 − 50)/1,5 = 1,36

Área de la cola

Φ(1,36) = 0,9131

1 − Φ(1,36) = 0,0869

p-valor

p = 2·0,0869 = 0,1738

Respuesta

p = 0,1738

p > 0,05, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 %.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: L = 199,9

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Margen de error

E = 2,576·10/√36 = 4,293

Límite del intervalo

L = 204,2 − 4,293 = 199,9

Respuesta

L = 199,9

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9669

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 388/6 = 64,67

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 473,3

Coeficiente de correlación

r = 88/√(17,5·473,3) = 0,9669

Respuesta

r = 0,9669

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 4,233

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 109/6 = 18,17

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31,5

Recta de regresión

b = −31,5/17,5 = −1,8

a = 18,17 − (−1,8)·3,5 = 24,47

ŷ = 24,47 − 1,8·x

Valor predicho

ŷ = 24,47 + (−1,8)·1,5 = 21,77

Residuo

e = 26 − 21,77 = 4,233

Respuesta

e = 4,233

El punto está por encima de la recta.

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