Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 58, 56, 57, 47, 37, 41, 38.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 154?
μ = 170σ = 8x = 154
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 0,5X − 3. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2Y = 0,5X − 3
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,9192. Halla z con dos decimales.
A = 0,9192
z =
6.Distribución normalDifícil
Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 90 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Un intervalo de confianza del 99 % para una media, basado en 100 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 3,6. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 90 % con los mismos datos?
99%n₁ = 100E₁ = 3,690%
E₂ =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 14 parcelas, rendimiento medio 71,5 kg, desviación típica 8,5 kg. Grupo de parcelas 2: 8 parcelas, media 65,5 kg, desviación típica 10 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 14x̄₁ = 71,5s₁ = 8,5n₂ = 8x̄₂ = 65,5s₂ = 1099%t(20) = 2,845
límite superior = kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Se afirma que la media de una población es 500; se sabe que la desviación típica poblacional es 40. Una muestra aleatoria de 100 observaciones tiene una media de 504,32. Contrasta H₀: μ = 500 frente a H₁: μ > 500. Halla el p-valor p.
μ₀ = 500σ = 40n = 100x̄ = 504,32H₁: μ > μ₀
p =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 3 unidades con una potencia del 90 %. La desviación típica es 17. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,01potencia = 90%δ = 3σ = 17zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 30Σy = 93Σx² = 220Σy² = 2003Σxy = 662
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3,5, 11). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 11)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 9,268
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 334/7 = 47,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 10,29² + 8,286² + 9,286² + (−0,7143)² + (−10,71)² + (−6,714)² + (−9,714)² = 515,4
Desviación típica
s = √(515,4/6) = 9,268
Respuesta
s = 9,268
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,02275
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −2
Tabla de la normal estándar
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Respuesta
P = 0,02275
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 5,4
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,15 + 6·0,3 = 3
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,15 + 36·0,3 = 14,4
Varianza
Var(X) = 14,4 − 3² = 5,4
Respuesta
Var(X) = 5,4
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 1,117
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 2,9, Var(X) = 4,99, σX = 2,234
Cambio lineal
σY = |0,5|·2,234 = 1,117
Respuesta
σY = 1,117
La media sí se desplaza: E(Y) = 0,5·2,9 − 3 = −1,55.
5.Distribución normal
Respuesta: z = −1,4
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,9192 = 0,0808
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,0808 dentro de la tabla y lee z.
z = −1,40
Respuesta
z = −1,40
6.Distribución normal
Respuesta: x = 243,6 g
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,1
z según la tabla
z ≈ −1,28
De vuelta a las unidades originales
x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g
Respuesta
x = 243,6 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E₂ = 2,299
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Relación de márgenes
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/100) = 0,6386
Nuevo margen
E₂ = 3,6·0,6386 = 2,299
Respuesta
E₂ = 2,299
8.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 17,42 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desviación típica combinada
sp² = (13·8,5² + 7·10²)/20 = 81,96
sp = 9,053
Margen de error
E = 2,845·9,053·√(1/14 + 1/8) = 11,42
Intervalo
6 ± 11,42 → [−5,415, 17,42]
Respuesta
límite superior = 17,42 kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: p = 0,1401
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estadístico de contraste
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (504,32 − 500)/4 = 1,08
Área de la cola
Φ(1,08) = 0,8599
1 − Φ(1,08) = 0,1401
p-valor
p = 0,1401
Respuesta
p = 0,1401
p > 0,05, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 %.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 419
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((2,326 + 1,282)·17/3)² = 418
Redondear hacia arriba
n = 419
Respuesta
n = 419
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9949
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 662 − 30·93/5 = 104
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2003 − 93²/5 = 273,2
Coeficiente de correlación
r = 104/√(40·273,2) = 0,9949
Respuesta
r = 0,9949
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −5,5
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Recta de regresión
b = −18/10 = −1,8
a = 17,4 − (−1,8)·3 = 22,8
ŷ = 22,8 − 1,8·x
Valor predicho
ŷ = 22,8 + (−1,8)·3,5 = 16,5
Residuo
e = 11 − 16,5 = −5,5
Respuesta
e = −5,5
El punto está por debajo de la recta.
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