Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 46, 38, 30, 51, 44, 56.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 186.

μ = 170σ = 8x = 186

z =

3.ProbabilidadMedia

¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 3 personas entre un grupo de 13? El orden no importa.

n = 13k = 3

N =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 11 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 11p = 0,5

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,9357. Halla z con dos decimales.

A = 0,9357

z =

6.Distribución normalDifícil

Para las notas de un examen, la distribución es normal, con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 85 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.

μ = 65 puntosσ = 10 puntos85%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 11 elementos tiene media 46 y desviación típica s = 1. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 11x̄ = 46s = 199%t(10) = 3,169

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

No se sabe nada de antemano sobre la proporción de productos defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,01?

p = 0,5E = 0,0195%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 201,7 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 10n = 49

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 100 medidas tiene media 99,5. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.

x̄ = 99,5σ = 5n = 10090%

U =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (6, 75). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(6, 75)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 9,261

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 265/6 = 44,17

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 1,833² + (−6,167)² + (−14,17)² + 6,833² + (−0,1667)² + 11,83² = 428,8

Desviación típica

s = √(428,8/5) = 9,261

Respuesta

s = 9,261

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = 2

Tipificar

z = (186 − 170)/8 = 2

Respuesta

z = 2

3.Probabilidad

Respuesta: N = 286

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaciones

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

Respuesta

N = 286

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,005859

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Súmalas

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Respuesta

P = 0,005859

5.Distribución normal

Respuesta: z = −1,52

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,9357 = 0,0643

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,0643 dentro de la tabla y lee z.

z = −1,52

Respuesta

z = −1,52

6.Distribución normal

Respuesta: x = 54,6 puntos

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,15

z según la tabla

z ≈ −1,04

De vuelta a las unidades originales

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 puntos

Respuesta

x = 54,6 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 46,96

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margen de error

E = 3,169·1/√11 = 0,9555

Intervalo

46 ± 0,9555 → [45,04, 46,96]

Respuesta

límite superior = 46,96

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604

Redondear hacia arriba

n = 9604

Respuesta

n = 9604

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 1,19

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Estadístico de contraste

t = (201,7 − 200)/1,429 = 1,19

Respuesta

t = 1,19

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 100,3

Margen de error

E = 1,645·5/√100 = 0,8225

Límite del intervalo

U = 99,5 + 0,8225 = 100,3

Respuesta

U = 100,3

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,997

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 325/5 = 65

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 626

Coeficiente de determinación

r² = 158²/(40·626) = 0,997

Respuesta

r² = 0,997

Aproximadamente el 99,7 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = −2,2

Medias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 422/5 = 84,4

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288

Recta de regresión

b = 288/40 = 7,2

a = 84,4 − 7,2·7 = 34

ŷ = 34 + 7,2·x

Valor predicho

ŷ = 34 + 7,2·6 = 77,2

Residuo

e = 75 − 77,2 = −2,2

Respuesta

e = −2,2

El punto está por debajo de la recta.

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