Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 19, 41, 12, 21, 13, 17.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 88?

μ = 100σ = 12x = 88

P =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 3 bolas rojas y 8 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

3 / 8

P =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 5 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 5p = 0,5

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,9738. Halla z con dos decimales.

A = 0,9738

z =

6.Distribución normalDifícil

Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 85 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 7 elementos tiene media 71,5 y desviación típica s = 7. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 7x̄ = 71,5s = 795%t(6) = 2,447

límite inferior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

No se sabe nada de antemano sobre la proporción de productos defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 90 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,025?

p = 0,5E = 0,02590%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 97,4 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,4s = 4n = 16

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 200 frente a H₁: μ > 200 con α = 0,10 y una muestra de 25; se sabe que la desviación típica es 10. En realidad la media es 204. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.

μ₀ = 200μ = 204σ = 10n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 10,62

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 123/6 = 20,5

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−1,5)² + 20,5² + (−8,5)² + 0,5² + (−7,5)² + (−3,5)² = 563,5

Desviación típica

s = √(563,5/5) = 10,62

Respuesta

s = 10,62

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,8413

Tipificar

z = −1

Tabla de la normal estándar

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Respuesta

P = 0,8413

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,05455

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Respuesta

P = 0,05455

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,1875

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Súmalas

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Respuesta

P = 0,1875

5.Distribución normal

Respuesta: z = −1,94

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,9738 = 0,0262

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,0262 dentro de la tabla y lee z.

z = −1,94

Respuesta

z = −1,94

6.Distribución normal

Respuesta: x = 255,2 g

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,85

z según la tabla

z ≈ 1,04

De vuelta a las unidades originales

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Respuesta

x = 255,2 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 65,03

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Margen de error

E = 2,447·7/√7 = 6,474

Intervalo

71,5 ± 6,474 → [65,03, 77,97]

Respuesta

límite inferior = 65,03

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

Redondear hacia arriba

n = 1083

Respuesta

n = 1083

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,6

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Estadístico de contraste

t = (97,4 − 100)/1 = −2,6

Respuesta

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: 1 − β = 76,36 %

Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media muestral crítica

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 200 + 1,282·2 = 202,6

z con la media verdadera

z = (202,6 − 204)/2 = −0,718

Potencia

potencia = P(Z > −0,718) = 76,36%

1 − β = 76,36%

Respuesta

1 − β = 76,36%

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9657

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 90/6 = 15

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 360

Coeficiente de determinación

r² = 156²/(70·360) = 0,9657

Respuesta

r² = 0,9657

Aproximadamente el 96,57 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 24,9

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 124/6 = 20,67

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

Recta de regresión

b = −37/17,5 = −2,114

a = 20,67 − (−2,114)·3,5 = 28,07

ŷ = 28,07 − 2,114·x

Predicción

ŷ = 28,07 + (−2,114)·1,5 = 24,9

Respuesta

ŷ = 24,9

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