Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 16, 11, 43, 38, 10, 11, 44.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 5. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 54?
μ = 60σ = 5x = 54
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 12 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 12p = 0,2k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,9768. Halla z con dos decimales.
A = 0,9768
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 30 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 100 puntosσ = 15 puntos30%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 8 elementos tiene media 76 y desviación típica s = 9,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 8x̄ = 76s = 9,590%t(7) = 1,895
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 19. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
σ = 19E = 599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
8 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −1,48 y la desviación típica de las diferencias es 2,8. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −1,48sd = 2,8
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 81 medidas tiene media 76,6. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 76,6σ = 5n = 8190%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 82?
n = 5ŷ = 82
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 16,08
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 173/7 = 24,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + (−13,71)² + 18,29² + 13,29² + (−14,71)² + (−13,71)² + 19,29² = 1551
Desviación típica
s = √(1551/6) = 16,08
Respuesta
s = 16,08
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8849
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,2
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Respuesta
P = 0,8849
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 0,79
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 + 4·0,05 = 2,1
Media de los cuadrados
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 + 16·0,05 = 5,2
Varianza
Var(X) = 5,2 − 2,1² = 0,79
Respuesta
Var(X) = 0,79
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,2835
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 66·0,22·0,810 = 66·0,04·0,1074 = 0,2835
Respuesta
P = 0,2835
5.Distribución normal
Respuesta: z = 2,27
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,9768)/2 = 0,9884
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9884 dentro de la tabla y lee z.
z = 2,27
Respuesta
z = 2,27
6.Distribución normal
Respuesta: x = 107,8 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,7
z según la tabla
z ≈ 0,52
De vuelta a las unidades originales
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 puntos
Respuesta
x = 107,8 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 82,36
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margen de error
E = 1,895·9,5/√8 = 6,365
Intervalo
76 ± 6,365 → [69,64, 82,36]
Respuesta
límite superior = 82,36
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 96
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·19/5)² = 95,82
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 96
Respuesta
n = 96
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −1,495
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 2,8/√8 = 0,9899
Estadístico de contraste
t = −1,48/0,9899 = −1,495
Respuesta
t = −1,495
Con gl = 7, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,365; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 77,51
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·5/√81 = 0,9139
Límite del intervalo
U = 76,6 + 0,9139 = 77,51
Respuesta
U = 77,51
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,96
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 405/6 = 67,5
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 219,5
Coeficiente de correlación
r = 59,5/√(17,5·219,5) = 0,96
Respuesta
r = 0,96
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 6,437
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 359/5 = 71,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71
Recta de regresión
b = 71/10 = 7,1
a = 71,8 − 7,1·5 = 36,3
ŷ = 36,3 + 7,1·x
Despeja x
x = (82 − 36,3)/7,1 = 6,437
Respuesta
x = 6,437
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