Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 10, 56, 22, 23, 11.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 55?

μ = 60σ = 10x = 55

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = −2X + 20. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,1, 0,3, 0,15Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 500 y 572 h? Da P como número decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 572

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 10 % de los datos (el percentil 10).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 8 elementos tiene media 66,5 y desviación típica s = 10,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 8x̄ = 66,5s = 10,590%t(7) = 1,895

E =

8.Intervalos de confianzaDifícil

Los diámetros de 21 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 4,3 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 20, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 9,591 y el 2,5 % queda por encima de 34,17.

n = 21s = 4,3 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 193,4 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 193,4s = 15n = 49

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 25 medidas tiene media 49,8. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 95 % para la media.

x̄ = 49,8σ = 10n = 2595%

L =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 22.

n = 5x = 22

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 18,66

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 122/5 = 24,4

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−14,4)² + 31,6² + (−2,4)² + (−1,4)² + (−13,4)² = 1393

Desviación típica

s = √(1393/4) = 18,66

Respuesta

s = 18,66

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,6915

Tipificar

z = −0,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Respuesta

P = 0,6915

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,41

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,7

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,3

Varianza

Var(X) = 4,3 − 1,7² = 1,41

Respuesta

Var(X) = 1,41

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 3,072

Dispersión de X

μ = 1,8, Var(X) = 2,36, σ_X = 1,536

Cambio lineal

σ_Y = |−2|·1,536 = 3,072

Respuesta

σ_Y = 3,072

La media sí se desplaza: E(Y) = −2·1,8 + 20 = 16,4.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,4641

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Área entre ambos valores

P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641

Respuesta

P = 0,4641

6.Distribución normal

Respuesta: x = 80,78 puntos

z del percentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Vuelta a x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 puntos

Respuesta

x = 80,78 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 7,035

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margen de error

E = 1,895·10,5/√8 = 7,035

Respuesta

E = 7,035

8.Intervalos de confianza

Respuesta: σ = 6,209 µm

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 20·4,3² = 369,8

Límites para σ²

369,8/34,17 = 10,82

369,8/9,591 = 38,56

Límite para σ

σ = √38,56 = 6,209 µm

Respuesta

σ = 6,209 µm

Intervalo del 95 % para σ: [3,29, 6,209] µm.

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −3,08

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Estadístico de contraste

t = (193,4 − 200)/2,143 = −3,08

Respuesta

t = −3,08

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: L = 45,88

Margen de error

E = 1,96·10/√25 = 3,92

Límite del intervalo

L = 49,8 − 3,92 = 45,88

Respuesta

L = 45,88

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9554

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 347/5 = 69,4

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 305,2

Coeficiente de determinación

r² = 54²/(10·305,2) = 0,9554

Respuesta

r² = 0,9554

Aproximadamente el 95,54 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 61,8

Medias

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 267/5 = 53,4

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Recta de regresión

b = 112/40 = 2,8

a = 53,4 − 2,8·19 = 0,2

ŷ = 0,2 + 2,8·x

Predicción

ŷ = 0,2 + 2,8·22 = 61,8

Respuesta

ŷ = 61,8

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