Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 28, 39, 53, 44, 55, 40.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 200?
μ = 170σ = 15x = 200
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 2 personas entre un grupo de 14? El orden no importa.
n = 14k = 2
N =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 8 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 8p = 0,5k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,3745. Halla z con dos decimales.
A = 0,3745
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las estaturas de los hombres adultos, la distribución es normal, con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Arrastra el punto de corte para que el 90 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 13 elementos tiene media 102,5 y desviación típica s = 17,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 13x̄ = 102,5s = 17,599%t(12) = 3,055
límite inferior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 19. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?
σ = 19E = 399%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Se comparan dos métodos de enseñanza. Grupo 1: 5 estudiantes, nota media 50, desviación típica 4. Grupo 2: 7 estudiantes, nota media 32,3, desviación típica 11. Supón varianzas poblacionales iguales y usa el contraste t de dos muestras con varianza combinada. Halla el estadístico de contraste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 5x̄₁ = 50s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 32,3s₂ = 11
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
En un ensayo se recuperan 125 de 250 pacientes con el tratamiento A y 192 de 300 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 192n₂ = 300
z =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 3.
n = 5x = 3
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 9,948
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 259/6 = 43,17
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−15,17)² + (−4,167)² + 9,833² + 0,8333² + 11,83² + (−3,167)² = 494,8
Desviación típica
s = √(494,8/5) = 9,948
Respuesta
s = 9,948
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,9772
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 2
Tabla de la normal estándar
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Respuesta
P = 0,9772
3.Probabilidad
Respuesta: N = 91
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91
Respuesta
N = 91
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1094
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 28·0,52·0,56 = 28·0,25·0,01563 = 0,1094
Respuesta
P = 0,1094
5.Distribución normal
Respuesta: z = 0,32
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,3745 = 0,6255
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,6255 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,32
Respuesta
z = 0,32
6.Distribución normal
Respuesta: x = 169 cm
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,1
z según la tabla
z ≈ −1,28
De vuelta a las unidades originales
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Respuesta
x = 169 cm
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 87,67
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Margen de error
E = 3,055·17,5/√13 = 14,83
Intervalo
102,5 ± 14,83 → [87,67, 117,3]
Respuesta
límite inferior = 87,67
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 267
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·19/3)² = 266,2
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 267
Respuesta
n = 267
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 3,401
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinada
sp² = (4·4² + 6·11²)/10 = 79
sp = 8,888
Error típico
SE = 8,888·√(1/5 + 1/7) = 5,204
Estadístico de contraste
t = (50 − 32,3)/5,204 = 3,401
Respuesta
t = 3,401
Con gl = 10, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,228; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −3,309
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporciones muestrales
p̂₁ = 125/250 = 0,5
p̂₂ = 192/300 = 0,64
p̂ = 317/550 = 0,5764
Error típico bajo H₀
SE = √(0,5764·0,4236·(1/250 + 1/300)) = 0,04232
Estadístico de contraste
z = (0,5 − 0,64)/0,04232 = −3,309
Respuesta
z = −3,309
|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9657
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 363/5 = 72,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Syy = Σ(y − ȳ)² = 587,2
Coeficiente de correlación
r = 74/√(10·587,2) = 0,9657
Respuesta
r = 0,9657
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 14,3
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 121/5 = 24,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132
Recta de regresión
b = 132/40 = 3,3
a = 24,2 − 3,3·6 = 4,4
ŷ = 4,4 + 3,3·x
Predicción
ŷ = 4,4 + 3,3·3 = 14,3
Respuesta
ŷ = 14,3
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