Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 39, 35, 37, 14, 26, 46.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 75?
μ = 60σ = 12x = 75
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,3
σ =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 2 €. Ganas 10 € con probabilidad 0,15 y 100 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €2€10: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 100 y 127,75 puntos? Da P como número decimal.
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 127,75
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 97,5 % de los datos (el percentil 97,5).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 21 elementos tiene media 60 y desviación típica s = 11,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 21x̄ = 60s = 11,599%t(20) = 2,845
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,15 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,05?
p ≈ 0,15E = 0,0595%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 40 piezas tiene una longitud media de 61 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 16 mm. Línea 2: una muestra de 30 piezas tiene una media de 59 mm, con desviación típica conocida de 8 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).
n₁ = 40x̄₁ = 61 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 30x̄₂ = 59 mmσ₂ = 8 mm
z =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 81 medidas tiene media 102. La desviación típica poblacional es 15. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 102σ = 15n = 8199%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3,5, 14). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 14)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 11,27
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 197/6 = 32,83
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 6,167² + 2,167² + 4,167² + (−18,83)² + (−6,833)² + 13,17² = 634,8
Desviación típica
s = √(634,8/5) = 11,27
Respuesta
s = 11,27
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8944
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1,25
Tabla de la normal estándar
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Respuesta
P = 0,8944
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 12,04
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 10·0,3 + 20·0,2 + 30·0,2 + 40·0,3 = 25
Media de los cuadrados
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,2 + 900·0,2 + 1600·0,3 = 770
Varianza
Var(X) = 770 − 25² = 145
σ = √145 = 12,04
Respuesta
σ = 12,04
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = 0,5 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 8 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Valor esperado
E(G) = 8·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = 0,5 €
Respuesta
E(G) = 0,5 €
Un valor positivo significa que ganas dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,4678
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Área entre ambos valores
P = Φ(1,85) − Φ(0) = 0,9678 − 0,5 = 0,4678
Respuesta
P = 0,4678
6.Distribución normal
Respuesta: x = 84,6 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Vuelta a x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puntos
Respuesta
x = 84,6 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 7,14
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Margen de error
E = 2,845·11,5/√21 = 7,14
Respuesta
E = 7,14
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 196
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Despejar n
n = 1,96²·0,15·0,85/0,05² = 195,9
Redondear hacia arriba
n = 196
Respuesta
n = 196
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = 0,6847
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Error típico de la diferencia
SE = √(16²/40 + 8²/30) = √8,533 = 2,921
Estadístico de contraste
z = (61 − 59)/2,921 = 0,6847
Respuesta
z = 0,6847
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 97,71
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·15/√81 = 4,293
Límite del intervalo
L = 102 − 4,293 = 97,71
Respuesta
L = 97,71
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9758
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 211/5 = 42,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
Syy = Σ(y − ȳ)² = 390,8
Coeficiente de correlación
r = 61/√(10·390,8) = 0,9758
Respuesta
r = 0,9758
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −3,7
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Recta de regresión
b = −26/10 = −2,6
a = 19 − (−2,6)·3 = 26,8
ŷ = 26,8 − 2,6·x
Valor predicho
ŷ = 26,8 + (−2,6)·3,5 = 17,7
Residuo
e = 14 − 17,7 = −3,7
Respuesta
e = −3,7
El punto está por debajo de la recta.
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