Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 51, 28, 57, 22, 36, 37.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 58?
μ = 70σ = 15x = 58
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 4 personas entre un grupo de 15? El orden no importa.
n = 15k = 4
N =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 5 €. Ganas 25 € con probabilidad 0,2 y 50 € con probabilidad 0,02; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €5€25: p = 0,2€50: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 436 y 508 h? Da P como número decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 508
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 97,5 % de los datos (el percentil 97,5).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 50 móviles, media 63,5 h, desviación típica conocida 14 h. Modelo 2: 80 móviles, media 56 h, desviación típica conocida 14 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 63,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 56 hσ₂ = 14 h95%
límite inferior = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 20. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 4?
σ = 20E = 490%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 41,75 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 41,75s = 15n = 16
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 36 medidas tiene media 51,8. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 51,8σ = 10n = 3690%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 6
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (1,5, 28). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 28)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 13,34
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 231/6 = 38,5
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 12,5² + (−10,5)² + 18,5² + (−16,5)² + (−2,5)² + (−1,5)² = 889,5
Desviación típica
s = √(889,5/5) = 13,34
Respuesta
s = 13,34
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,7881
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −0,8
Tabla de la normal estándar
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Respuesta
P = 0,7881
3.Probabilidad
Respuesta: N = 1365
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
Respuesta
N = 1365
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = 1 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 20 (p = 0,2), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)
Valor esperado
E(G) = 20·0,2 + 45·0,02 − 5·0,78 = 1 €
Respuesta
E(G) = 1 €
Un valor positivo significa que ganas dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,5245
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2
Área entre ambos valores
P = Φ(0,2) − Φ(−1,6) = 0,5793 − 0,0548 = 0,5245
Respuesta
P = 0,5245
6.Distribución normal
Respuesta: x = 129,4 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Vuelta a x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 puntos
Respuesta
x = 129,4 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 2,553 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 56 = 7,5
Error típico
SE = √(14²/50 + 14²/80) = 2,524
Margen de error
E = 1,96·2,524 = 4,947
Intervalo
7,5 ± 4,947 → [2,553, 12,45]
Respuesta
límite inferior = 2,553 h
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 68
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·20/4)² = 67,65
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 68
Respuesta
n = 68
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,2
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Estadístico de contraste
t = (41,75 − 50)/3,75 = −2,2
Respuesta
t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 54,54
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·10/√36 = 2,742
Límite del intervalo
U = 51,8 + 2,742 = 54,54
Respuesta
U = 54,54
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,956
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 458/6 = 76,33
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1073
Coeficiente de determinación
r² = 134²/(17,5·1073) = 0,956
Respuesta
r² = 0,956
Aproximadamente el 95,6 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 3,95
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Recta de regresión
b = −35/10 = −3,5
a = 18,8 − (−3,5)·3 = 29,3
ŷ = 29,3 − 3,5·x
Valor predicho
ŷ = 29,3 + (−3,5)·1,5 = 24,05
Residuo
e = 28 − 24,05 = 3,95
Respuesta
e = 3,95
El punto está por encima de la recta.
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