Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 28, 10, 32, 39, 28.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 66?
μ = 60σ = 10x = 66
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2
σ =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = −2X + 1. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2Y = −2X + 1
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,8098. Halla z con dos decimales.
A = 0,8098
z =
6.Distribución normalDifícil
Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 85 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Un intervalo de confianza del 95 % para una media, basado en 100 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 8,1. ¿Cuál es el margen de error E₂ si el mismo estudio usa 400 observaciones?
95%n₁ = 100E₁ = 8,1n₂ = 400
E₂ =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 30. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?
σ = 30E = 195%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 36 estudiantes tiene una nota media de 101,6 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101,6s = 8n = 36
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 81 medidas tiene media 498,5. La desviación típica poblacional es 12. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 95 % para la media.
x̄ = 498,5σ = 12n = 8195%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 37?
n = 5ŷ = 37
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,71
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 137/5 = 27,4
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 0,6² + (−17,4)² + 4,6² + 11,6² + 0,6² = 459,2
Desviación típica
s = √(459,2/4) = 10,71
Respuesta
s = 10,71
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,2743
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,6
Tabla de la normal estándar
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Respuesta
P = 0,2743
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 0,9097
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,65
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,55
Varianza
Var(X) = 3,55 − 1,65² = 0,8275
σ = √0,8275 = 0,9097
Respuesta
σ = 0,9097
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 1,947
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 1,55, Var(X) = 0,9475, σX = 0,9734
Cambio lineal
σY = |−2|·0,9734 = 1,947
Respuesta
σY = 1,947
La media sí se desplaza: E(Y) = −2·1,55 + 1 = −2,1.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 1,31
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,8098)/2 = 0,9049
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9049 dentro de la tabla y lee z.
z = 1,31
Respuesta
z = 1,31
6.Distribución normal
Respuesta: x = 244,8 g
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,15
z según la tabla
z ≈ −1,04
De vuelta a las unidades originales
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Respuesta
x = 244,8 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E₂ = 4,05
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Relación de márgenes
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/400) = 0,5
Nuevo margen
E₂ = 8,1·0,5 = 4,05
Respuesta
E₂ = 4,05
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 3458
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·30/1)² = 3457
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 3458
Respuesta
n = 3458
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 1,2
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Estadístico de contraste
t = (101,6 − 100)/1,333 = 1,2
Respuesta
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 501,1
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,96·12/√81 = 2,613
Límite del intervalo
U = 498,5 + 2,613 = 501,1
Respuesta
U = 501,1
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9733
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 81/5 = 16,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Syy = Σ(y − ȳ)² = 60,8
Coeficiente de correlación
r = −24/√(10·60,8) = −0,9733
Respuesta
r = −0,9733
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 8,973
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 130/5 = 26
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Recta de regresión
b = 148/40 = 3,7
a = 26 − 3,7·6 = 3,8
ŷ = 3,8 + 3,7·x
Despeja x
x = (37 − 3,8)/3,7 = 8,973
Respuesta
x = 8,973
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