Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 28, 18, 55, 59, 40, 32, 50.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 40?

μ = 70σ = 15x = 40

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

σ =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 5 €. Ganas 10 € con probabilidad 0,25 y 100 € con probabilidad 0,02; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €5€10: p = 0,25€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 164,35 y 183,6 cm? Da P como número decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 164,35x₂ = 183,6

P =

6.Distribución normalDifícil

Los diámetros D de los agujeros son normales con media 25,05 mm y desviación típica 0,02 mm. Los diámetros d de los ejes son independientes y normales con media 25 mm y desviación típica 0,01 mm. Un eje elegido al azar encaja cuando D − d > 0. Halla la probabilidad P de que encaje. Redondea z a dos decimales.

agujero: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmeje: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalos de confianzaMedia

Un intervalo de confianza del 99 % para una media, basado en 100 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 8,3. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 95 % con los mismos datos?

99%n₁ = 100E₁ = 8,395%

E₂ =

8.Intervalos de confianzaDifícil

Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 9 parcelas, rendimiento medio 17 kg, desviación típica 5 kg. Grupo de parcelas 2: 8 parcelas, media 22,5 kg, desviación típica 5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 17s₁ = 5n₂ = 8x̄₂ = 22,5s₂ = 590%t(15) = 1,753

límite superior = kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se afirma que la media de una población es 250; se sabe que la desviación típica poblacional es 6. Una muestra aleatoria de 36 observaciones tiene una media de 247,92. Contrasta H₀: μ = 250 frente a H₁: μ < 250. Halla el p-valor p.

μ₀ = 250σ = 6n = 36x̄ = 247,92H₁: μ < μ₀

p =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 30 de 200 pacientes con el tratamiento A y 8 de 80 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 8n₂ = 80

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 33Σy = 476Σx² = 199Σy² = 38554Σxy = 2731

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (5, 19). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(5, 19)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 15,15

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 282/7 = 40,29

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−12,29)² + (−22,29)² + 14,71² + 18,71² + (−0,2857)² + (−8,286)² + 9,714² = 1377

Desviación típica

s = √(1377/6) = 15,15

Respuesta

s = 15,15

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,02275

Tipificar

z = −2

Tabla de la normal estándar

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Respuesta

P = 0,02275

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 0,9937

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,25

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,1 = 6,05

Varianza

Var(X) = 6,05 − 2,25² = 0,9875

σ = √0,9875 = 0,9937

Respuesta

σ = 0,9937

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,5 €

Resultados netos

G: 5 (p = 0,25), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

Valor esperado

E(G) = 5·0,25 + 95·0,02 − 5·0,73 = −0,5 €

Respuesta

E(G) = −0,5 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,7626

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95

z₂ = (183,6 − 178)/7 = 0,8

Área entre ambos valores

P = Φ(0,8) − Φ(−1,95) = 0,7881 − 0,02559 = 0,7626

Respuesta

P = 0,7626

6.Distribución normal

Respuesta: P = 0,9875

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², así que σ = √(σ_X² + σ_Y²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución de la diferencia

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Tipificar

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Probabilidad

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Respuesta

P = 0,9875

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E₂ = 6,315

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Relación de márgenes

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/100) = 0,7609

Nuevo margen

E₂ = 8,3·0,7609 = 6,315

Respuesta

E₂ = 6,315

8.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = −1,241 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Desviación típica combinada

s_p² = (8·5² + 7·5²)/15 = 25

s_p = 5

Margen de error

E = 1,753·5·√(1/9 + 1/8) = 4,259

Intervalo

−5,5 ± 4,259 → [−9,759, −1,241]

Respuesta

límite superior = −1,241 kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: p = 0,01876

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estadístico de contraste

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (247,92 − 250)/1 = −2,08

Área de la cola

Φ(2,08) = 0,9812

1 − Φ(2,08) = 0,0188

p-valor

p = 0,01876

Respuesta

p = 0,01876

p ≤ 0,05, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 %.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 1,104

Proporciones muestrales

p̂₁ = 30/200 = 0,15

p̂₂ = 8/80 = 0,1

p̂ = 38/280 = 0,1357

Error típico bajo H₀

SE = √(0,1357·0,8643·(1/200 + 1/80)) = 0,04531

Estadístico de contraste

z = (0,15 − 0,1)/0,04531 = 1,104

Respuesta

z = 1,104

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9602

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 2731 − 33·476/6 = 113

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 38554 − 476²/6 = 791,3

Coeficiente de correlación

r = 113/√(17,5·791,3) = 0,9602

Respuesta

r = 0,9602

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 4,2

Medias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 86/5 = 17,2

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Recta de regresión

b = 96/40 = 2,4

a = 17,2 − 2,4·6 = 2,8

ŷ = 2,8 + 2,4·x

Valor predicho

ŷ = 2,8 + 2,4·5 = 14,8

Residuo

e = 19 − 14,8 = 4,2

Respuesta

e = 4,2

El punto está por encima de la recta.

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