Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 22, 50, 33, 32, 49.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 80?

μ = 70σ = 10x = 80

P =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 3 bolas rojas y 7 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

3 / 7

P =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 10 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 10p = 0,3

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6778. Halla z con dos decimales.

A = 0,6778

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 5 % de los datos (el percentil 5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 30 móviles, media 132,5 h, desviación típica conocida 9 h. Modelo 2: 40 móviles, media 126 h, desviación típica conocida 16 h. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 132,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 126 hσ₂ = 16 h95%

E = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,7 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,04?

p ≈ 0,7E = 0,0495%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 498,6 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,6s = 4n = 16

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 64 medidas tiene media 74,4. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.

x̄ = 74,4σ = 5n = 6490%

U =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 45?

n = 5ŷ = 45

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 12,03

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 186/5 = 37,2

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−15,2)² + 12,8² + (−4,2)² + (−5,2)² + 11,8² = 578,8

Desviación típica

s = √(578,8/4) = 12,03

Respuesta

s = 12,03

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,1587

Tipificar

z = 1

Tabla de la normal estándar

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Respuesta

P = 0,1587

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,06667

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Respuesta

P = 0,06667

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,1493

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,7¹⁰ = 0,02825

P(X = 1) = 10·0,3·0,7⁹ = 0,1211

Súmalas

P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493

Respuesta

P = 0,1493

5.Distribución normal

Respuesta: z = 0,99

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = (1 + 0,6778)/2 = 0,8389

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,8389 dentro de la tabla y lee z.

z = 0,99

Respuesta

z = 0,99

6.Distribución normal

Respuesta: x = 166,5 cm

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Vuelta a x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Respuesta

x = 166,49 cm

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 5,913 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 132,5 − 126 = 6,5

Error típico

SE = √(9²/30 + 16²/40) = 3,017

Margen de error

E = 1,96·3,017 = 5,913

Respuesta

E = 5,913 h

El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 505

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 1,96²·0,7·0,3/0,04² = 504,2

Redondear hacia arriba

n = 505

Respuesta

n = 505

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,4

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Estadístico de contraste

t = (498,6 − 500)/1 = −1,4

Respuesta

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 75,43

Margen de error

E = 1,645·5/√64 = 1,028

Límite del intervalo

U = 74,4 + 1,028 = 75,43

Respuesta

U = 75,43

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9919

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 795/6 = 132,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 979,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 6142

Coeficiente de determinación

r² = 979,5²/(157,5·6142) = 0,9919

Respuesta

r² = 0,9919

Aproximadamente el 99,19 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 4,013

Medias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 244/5 = 48,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Recta de regresión

b = 154/40 = 3,85

a = 48,8 − 3,85·5 = 29,55

ŷ = 29,55 + 3,85·x

Despeja x

x = (45 − 29,55)/3,85 = 4,013

Respuesta

x = 4,013

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