Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 28, 13, 23, 55, 43, 38, 13.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 50 y desviación típica 10. Calcula la puntuación z z de una nota de 40.

μ = 50σ = 10x = 40

z =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 4 bolas rojas y 8 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

4 / 8

P =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 12 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 12p = 0,2

P =

5.Distribución normalMedia

X es normal con media 120 mm y desviación típica 0,3 mm; Y es independiente y normal con media 80 mm y desviación típica 0,4 mm. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 199,5 mm. Redondea z a dos decimales.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,5 mm

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 6 elementos tiene media 13 y desviación típica s = 9,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 6x̄ = 13s = 9,599%t(5) = 4,032

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 37. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?

σ = 37E = 2,599%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se afirma que la media de una población es 120; se sabe que la desviación típica poblacional es 30. Una muestra aleatoria de 144 observaciones tiene una media de 124,65. Contrasta H₀: μ = 120 frente a H₁: μ ≠ 120. Halla el p-valor p.

μ₀ = 120σ = 30n = 144x̄ = 124,65H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 42 de 120 pacientes con el tratamiento A y 16 de 80 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 16n₂ = 80

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (12, 85). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 6(12, 85)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 15,75

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 213/7 = 30,43

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−2,429)² + (−17,43)² + (−7,429)² + 24,57² + 12,57² + 7,571² + (−17,43)² = 1488

Desviación típica

s = √(1488/6) = 15,75

Respuesta

s = 15,75

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −1

Tipificar

z = (40 − 50)/10 = −1

Respuesta

z = −1

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,09091

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Respuesta

P = 0,09091

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,2749

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Súmalas

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Respuesta

P = 0,2749

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8413

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², así que σ = √(σ_X² + σ_Y²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución de la suma

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Tipificar

z = (199,5 − 200)/0,5 = −1

Cola superior

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Respuesta

P = 0,8413

6.Distribución normal

Respuesta: x = 189,5 cm

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Vuelta a x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Respuesta

x = 189,51 cm

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 28,64

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margen de error

E = 4,032·9,5/√6 = 15,64

Intervalo

13 ± 15,64 → [−2,638, 28,64]

Respuesta

límite superior = 28,64

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 1454

Despejar n

n = (2,576·37/2,5)² = 1454

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 1454

Respuesta

n = 1454

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: p = 0,06289

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estadístico de contraste

SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5

z = (124,65 − 120)/2,5 = 1,86

Área de la cola

Φ(1,86) = 0,9686

1 − Φ(1,86) = 0,0314

p-valor

p = 2·0,0314 = 0,06289

Respuesta

p = 0,06289

p > 0,05, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 %.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 2,29

Proporciones muestrales

p̂₁ = 42/120 = 0,35

p̂₂ = 16/80 = 0,2

p̂ = 58/200 = 0,29

Error típico bajo H₀

SE = √(0,29·0,71·(1/120 + 1/80)) = 0,06549

Estadístico de contraste

z = (0,35 − 0,2)/0,06549 = 2,29

Respuesta

z = 2,29

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,8911

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 315/5 = 63

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 830

Coeficiente de determinación

r² = 258²/(90·830) = 0,8911

Respuesta

r² = 0,8911

Aproximadamente el 89,11 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 1,967

Medias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 395/6 = 65,83

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 301

Recta de regresión

b = 301/70 = 4,3

a = 65,83 − 4,3·8 = 31,43

ŷ = 31,43 + 4,3·x

Valor predicho

ŷ = 31,43 + 4,3·12 = 83,03

Residuo

e = 85 − 83,03 = 1,967

Respuesta

e = 1,967

El punto está por encima de la recta.

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