Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 490 y 520 h? Da P como número decimal.
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).
Una muestra de 16 elementos tiene media 21,5 y desviación típica s = 12. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 95 % para la media.
Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,3 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,025?
12 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −5,61 y la desviación típica de las diferencias es 7,2. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 200 frente a H₁: μ > 200 con α = 0,10 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 20. En realidad la media es 204. Halla la probabilidad de un error de tipo II β en porcentaje.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (7, 28). Halla su residuo e = y − ŷ.
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Para una prueba de chi cuadrado de independencia, halla la frecuencia esperada E de la casilla «personal, coche».
Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste compara las frecuencias observadas en 8 categorías con proporciones esperadas totalmente especificadas (no se estima ningún parámetro a partir de los datos). Con la tabla, halla el valor crítico χ²crit para el nivel de significación α = 0,05.
Respuesta: P = 0,2902
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: x = 466,3 h
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: E = 6,393
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Respuesta: n = 1291
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Respuesta: t = −2,699
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Con gl = 11, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,201; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
Respuesta: β = 23,64 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Respuesta: r = 0,8764
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: e = 1,85
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
El punto está por encima de la recta.
Respuesta: E = 24,85
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Respuesta: χ²crit = 14,07
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Rechaza H₀ si el χ² calculado es mayor que este valor.
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