Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
X es normal con media 12 min y desviación típica 1,5 min; Y es independiente y normal con media 20 min y desviación típica 2 min. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 33,3 min. Redondea z a dos decimales.
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 25 % de los datos (el percentil 25).
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 50 móviles, media 90 h, desviación típica conocida 15 h. Modelo 2: 40 móviles, media 102,5 h, desviación típica conocida 14 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 6 parcelas, rendimiento medio 76 kg, desviación típica 6,5 kg. Grupo de parcelas 2: 25 parcelas, media 78,5 kg, desviación típica 1 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 123,2 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 200 frente a H₁: μ < 200 con α = 0.01 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 15. En realidad la media es 194.9. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 38?
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Para una prueba de chi cuadrado de independencia, halla la frecuencia esperada E de la casilla «estudiantes, bicicleta».
Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste comprueba si las frecuencias en 9 categorías siguen una distribución de Poisson cuya media se estima a partir de los mismos datos. ¿Cuántos grados de libertad df tiene la prueba?
Respuesta: P = 0,3015
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: x = 58,26 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: límite superior = −6,491 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
Respuesta: límite inferior = −4,7 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Respuesta: t = 2,133
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| > 1,984, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: 1 − β = 85,86 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Respuesta: r = 0,9935
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: x = 1,41
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: E = 30,59
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Respuesta: df = 7
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
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