Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6827. Halla z con dos decimales.
Los diámetros D de los agujeros son normales con media 25,05 mm y desviación típica 0,015 mm. Los diámetros d de los ejes son independientes y normales con media 25 mm y desviación típica 0,015 mm. Un eje elegido al azar encaja cuando D − d > 0. Halla la probabilidad P de que encaje. Redondea z a dos decimales.
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 100 móviles, media 93 h, desviación típica conocida 17 h. Modelo 2: 40 móviles, media 87,5 h, desviación típica conocida 5 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
La desviación típica poblacional es 12. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?
Una muestra de 25 estudiantes tiene una nota media de 73,2 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.
Un contraste z unilateral con α = 0,05 debe detectar un desplazamiento de la media de 4 unidades con una potencia del 95 %. La desviación típica es 12. Halla el tamaño muestral mínimo n.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (8, 79). Halla su residuo e = y − ŷ.
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.
Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste compara las frecuencias observadas en 10 categorías con proporciones esperadas totalmente especificadas (no se estima ningún parámetro a partir de los datos). ¿Cuántos grados de libertad df tiene la prueba?
Respuesta: z = 1
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Busca 0,8413 dentro de la tabla y lee z.
Respuesta: P = 0,9909
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: límite inferior = 2,416 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
Respuesta: n = 89
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
Respuesta: t = −1,8
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| < 2.064, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: n = 98
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Respuesta: r = −0,9206
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: e = 2,65
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
El punto está por encima de la recta.
Respuesta: χ² = 6,33
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
gl = 1. Con α = 0,05 el valor crítico es 3,841, así que H₀ (independencia) se rechaza.
Respuesta: df = 9
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference