Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Las masas de tornillos son independientes y normales con media 40 g y desviación típica 1,2 g. Halla la probabilidad P de que la masa total de 4 de ellos supere 161,2 g. Redondea z a dos decimales.
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 15 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
Se mide la tensión arterial de 15 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 1,6 y desviación típica 3,5. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media.
La desviación típica poblacional es 35. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 75,96 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.
Una muestra de 25 medidas tiene media 77,2. La desviación típica poblacional es 12. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 19?
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Para una prueba de chi cuadrado de independencia, halla la frecuencia esperada E de la casilla «rural, medio».
La tabla muestra las frecuencias observadas. Contrasta con α = 0,01 si las dos variables son independientes (sin corrección por continuidad). Calcula el estadístico de contraste χ² y compáralo después con el valor crítico de la tabla.
Respuesta: P = 0,3085
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: x = 542 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Respuesta: límite inferior = −0,3384 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Respuesta: n = 133
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
Respuesta: t = 1,2
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| < 1.984, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: U = 81,15
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Respuesta: r² = 0,8414
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Aproximadamente el 84,14 % de la variación de y queda explicada por la recta.
Respuesta: x = 3,556
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: E = 21,95
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Respuesta: χ² = 9,209
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
χ² está por debajo del valor crítico, así que no se rechaza H₀: no hay evidencia significativa de relación.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference