Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 6 m de A y un par horario M a 1 m de A. Halla la reacción vertical R_A, tomando positivo hacia arriba.

L = 8 mP = 10 kN en 6 mM = 30 kN·m (horario) en 1 m

R_A = kN

2.Reacciones en vigasDifícil

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 1 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 5 m hasta el extremo libre en 8 m. Halla la reacción vertical R_A, tomando positivo hacia arriba.

AB = 5 mAC = 8 mP = 75 kN en 1 mw = 2 kN/m de 5 a 8 m

R_A = kN

3.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

4.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP = 15 kN en 2,5 mw = 2 kN/m de 0 a 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 2 mB está a 2 m de Acarga vertical = 60 kN

F_AB = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓D: 40 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←

1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro FC
13miembro HC

7.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = −1,25 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 10·6 − 30 = 0

R_B = 90/8 = 11,25 kN

Equilibrio vertical

R_A = 10 − 11,25 = −1,25 kN

Respuesta

R_A = −1,25 kN

Una reacción negativa actúa hacia abajo.

2.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 58,2 kN

Resultante de la carga repartida

W = 2·3 = 6 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·1 + 6·6,5

R_B = 114/5 = 22,8 kN

R_A = 81 − 22,8 = 58,2 kN

Respuesta

R_A = 58,2 kN

3.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 5,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 5·3,5 − 2·3,5·1,75 = 5,25 kN·m

Respuesta

M_x = 5,25 kN·m

4.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 30,63 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2,5 + 2·6·3

R_B = 73,5/6 = 12,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 12,25 = 14,75 kN

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 14,75·2,5 − 2·2,5·1,25 = 30,63 kN·m

Respuesta

M_x = 30,63 kN·m

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −63,64 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −45/0,7071 = −63,64 kN

Respuesta

F_AB = −63,64 kN (compresión)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo G

FG y GH están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 15,83 kN (T), BC: 15,83 kN (T), CD: 60,83 kN (T), DE: 60,83 kN (T), FG: 78,33 kN (C), GH: 78,33 kN (C), AF: 57,29 kN (C), HE: 76,04 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 40,63 kN (T), HC: 15,63 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG

7.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 19,27 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 19,27 mm

Respuesta

δ_max = 19,27 mm

8.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·70000·22,22) = 1,714 × 10⁸ mm⁴

I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

9.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 2,879 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·4000 = 8000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/8000² = 2879 N = 2,879 kN

Respuesta

P_cr = 2,879 kN

10.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 8,812 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Respuesta

σ_cr = 8,812 MPa

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