Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P = 55 kNM = 50 kN·mABRB​ = ?6 m1 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 7 m de A y un par antihorario M a 6 m de A. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

L = 8 mP = 55 kN en 7 mM = 50 kN·m (antihorario) en 6 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 6 mP = 35 kN en 5 mw = 8 kN/m de 2 a 6 m
RB = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
w = 6 kN/mABsección1,5 m8,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 12 kN/mP = 25 kNABsección3 m1 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 25 kN en 3 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH30 kN10 kN4 × 3 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 30 kN ↓D: 10 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB15 kN10 kN4 m1 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 15 kNcarga horizontal = 10 kN →
FAB = kN
7.Flecha de la vigaMedia
P = 7 kNABδ1 m2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.

P = 7 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 10 kN/mδL = 4 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 120 kNL = 3 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 120 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 120 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 41,88 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·8 − 55·7 + 50 = 0
RB = 335/8 = 41,88 kN

Equilibrio vertical

RA = 55 − 41,88 = 13,13 kN

Respuesta

RB = 41,88 kN

Una reacción negativa actúa hacia abajo.

2.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 50,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2 m3 m1 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·5 + 8·4·4
RB = 303/6 = 50,5 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 50,5 = 16,5 kN

Respuesta

RB = 50,5 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 38,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30sección1,5 m8,5 m

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 30·1,5 − 6·1,5·0,75 = 38,25 kN·m

Respuesta

Mx = 38,25 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 36,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·3 + 12·4·2
RB = 171/4 = 42,75 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 42,75 = 30,25 kN
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = 30,25RB​ = 42,75sección3 m1 m

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 30,25·3 − 12·3·1,5 = 36,75 kN·m

Respuesta

Mx = 36,75 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 25 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 21,21 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 7,071 kN (T), DG: 7,071 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAB = −6,988 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB15 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 + 10·2 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 8,75 = 6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,25/0,8944 = −6,988 kN

Respuesta

FAB = −6,988 kN (compresión)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δP = 33,27 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Flecha bajo la carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·1000²·2000²/(3·9,35 × 10¹⁰·3000) = 33,27 mm

Respuesta

δP = 33,27 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 42,86 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·4000⁴/(384·70000·11,11) = 4,286 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 42,86 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 42,86 × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 3,139 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Respuesta

Pcr = 3,139 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 60,79 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 60,79 mm

Respuesta

d = 60,79 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 138,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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