Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w0​ = 4 kN/mP = 35 kNABRB​ = ?1 m5 m

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 4 kN/m en A hasta cero en B. Además actúa una carga puntual P a 1 m de A. Halla la reacción vertical RB.

L = 6 mw0 = 4 kN/mP = 35 kN en 1 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 3 kN/mP = 15 kNABCRA​ = ?1 m3 m0,5 m1,5 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 4,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 1 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 4 m hasta el extremo libre en 6 m. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 15 kN en 1 mw = 3 kN/m de 4 a 6 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
50 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 2 m20 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 12 kN/mP = 45 kNABsección2 m8 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 45 kN en 2 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH20 kN25 kN35 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 20 kN ↓F: 25 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH30 kN20 kN40 kN4 × 4 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

D: 30 kN ↓F: 20 kN →G: 40 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
7.Flecha de la vigaMedia
w = 4 kN/mABθ2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θA de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 12 kN/mP = 18 kNδL = 2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 18 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 1,5 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 150 kNL = 5 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 150 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 150 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 9,833 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·4·6 = 12 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 12·2 + 35·1
RB = 9,833 kN
RA = 47 − 9,833 = 37,17 kN

Respuesta

RB = 9,833 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 11 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga repartida

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 15·1 + 6·5
RB = 45/4,5 = 10 kN
RA = 21 − 10 = 11 kN

Respuesta

RA = 11 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 45 kN, R2 = 25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 90 kN·m, MC = 80, MD = 70, ME = 60, MF = 50, MG = 0

Respuesta

Marca B: MB = 90 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 168 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·2 + 12·10·5
RB = 690/10 = 69 kN
ΣFy = 0: RA = 165 − 69 = 96 kN
w = 12 kN/mP = 45 kNABRA​ = 96RB​ = 69sección2 m8 m

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 96·2 − 12·2·1 = 168 kN·m

Respuesta

Mx = 168 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 31,88 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 31,87 kN (C), GH: 28,12 kN (C), AF: 53,13 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 3,125 kN (T), DG: 3,125 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 51,67 kN (T), BC: 83,33 kN (T), CD: 83,33 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 51,67 kN (C), GH: 61,67 kN (C), AF: 39,58 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 46,25 kN (T), BG: 39,58 kN (C), DG: 27,08 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
7.Flecha de la viga

Respuesta: θA = 0,0101 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Giro en el extremo

θA = wL³/(24EI) = 4·2000³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,0101 rad

Respuesta

θA = 0,0101 rad

Eso son 0,5787°.

8.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 1,378 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 18000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 18000·2000³/(48·3,99 × 10¹²) = 0,7519 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,6266 mm

Súmalas

δmax = 0,7519 + 0,6266 = 1,378 mm

Respuesta

δmax = 1,378 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 3,052 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Respuesta

Pcr = 3,052 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 135 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 135 mm

Respuesta

d = 135 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 148,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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