Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 25 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​2,5 m2,5 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.

L = 6 mP1 = 25 kN en 2,5 mP2 = 40 kN en 5 m
RA = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?3 m5 m2 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 10 mP = 10 kN en 3 mw = 3 kN/m de 8 a 10 m
RB = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
w = 4 kN/mP = 80 kNABsección0,5 m0,5 m3 m

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 1 m de A. Halla el momento flector Mx en la sección x = 0,5 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 80 kN en 1 mw = 4 kN/m de 0 a 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 10 kN/mP = 45 kNABsección3,5 m2,5 m2 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 45 kN en 6 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH10 kN20 kN25 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

F: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH20 kN30 kN25 kN30 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 20 kN ↓F: 30 kN ↓F: 25 kN →G: 30 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
7.Flecha de la vigaMedia
w = 12 kN/mδL = 4 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 15 kNABδ4,5 m1,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1,5 m del apoyo B. Halla la flecha máxima δmax de la viga.

P = 15 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 md = 40 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 15 kNL = 2,5 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 15 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 15 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 21,25 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

P1​ = 25 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2,5 m2,5 m1 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 25·2,5 + 40·5
RB = 262,5/6 = 43,75 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 43,75 = 21,25 kN

Respuesta

RA = 21,25 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 8,4 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​RB​3 m5 m2 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, aplicada en x̄ = 9 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·3 + 3·2·9
RB = 84/10 = 8,4 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8,4 = 7,6 kN

Respuesta

RB = 8,4 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = −64,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −80·0,5 = −40 kN·m
w: −4·3,5²/2 = −24,5 kN·m
Mx = −40 − 24,5 = −64,5 kN·m

Respuesta

Mx = −64,5 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 118,1 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·6 + 10·8·4
RB = 590/8 = 73,75 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 73,75 = 51,25 kN
w = 10 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,25RB​ = 73,75sección3,5 m2,5 m2 m

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 51,25·3,5 − 10·3,5·1,75 = 118,1 kN·m

Respuesta

Mx = 118,1 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 17,81 kN (T), BC: 28,12 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 23,44 kN (T), FG: 17,81 kN (C), GH: 23,44 kN (C), AF: 29,69 kN (C), HE: 39,06 kN (C), BF: 13,75 kN (T), CG: 0, DH: 6,25 kN (T), BG: 17,19 kN (C), DG: 7,812 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 58,13 kN (T), BC: 53,75 kN (T), CD: 53,75 kN (T), DE: 26,87 kN (T), FG: 58,13 kN (C), GH: 26,87 kN (C), AF: 55,21 kN (C), HE: 44,79 kN (C), BF: 14,17 kN (T), CG: 0, DH: 35,83 kN (T), BG: 7,292 kN (T), DG: 44,79 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
7.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 3,509 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 3,509 mm

Respuesta

δmax = 3,509 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 10,25 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Posición del máximo

Igualando a cero el giro en el tramo más largo se obtiene la posición.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Flecha máxima

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 10,25 mm

Respuesta

δmax = 10,25 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 3,473 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Respuesta

Pcr = 3,473 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 68,58 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 68,58 mm

Respuesta

d = 68,58 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 291,6, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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