Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 55 kNP2​ = 65 kNABCRB​ = ?6 m1 m3 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 7 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

AB = 7 mAC = 10 mP1 = 55 kN en 6 mP2 = 65 kN en 10 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m3 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 6 mP = 40 kN en 3 mw = 6 kN/m de 1 a 3 m
RB = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
15 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
8 kN/m45 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

45 kN @ 12 m45 kN @ 6 m8 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB20 kN8 m5 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 4 mB está a 5 m de Acarga vertical = 20 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB35 kN10 kN5 m4 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 35 kNcarga horizontal = 10 kN ←
FBC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
P = 10 kNABδ1 m2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.

P = 10 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 4 kN/mδL = 2,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 5 m40 × 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 1,5 md = 40 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 140 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·7 = 55·6 + 65·10
RB = 980/7 = 140 kN

Equilibrio vertical

RA = 55 + 65 − 140 = −20 kN

Respuesta

RB = 140 kN

RA es negativa: la articulación en A tiene que sujetar la viga hacia abajo.

2.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 24 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​1 m2 m3 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·3 + 6·2·2
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 24 = 28 kN

Respuesta

RB = 24 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 102,5 kN, R2 = 102,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 175, MC = 290, MD = 345 kN·m, ME = 290, MF = 175, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 345 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 49 kN, R2 = 121 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 82, MC = 132, MD = 150 kN·m, ME = 46, MF = −90, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 150 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −15,63 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·5 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 12,5 = 7,5 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12,5/0,8 = −15,63 kN

Respuesta

FBC = −15,63 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −20,62 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·4 − 10·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 20 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0,9701 = −20,62 kN

Respuesta

FBC = −20,62 kN (compresión)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δP = 47,53 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 10000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Flecha bajo la carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1000²·2000²/(3·9,35 × 10¹⁰·3000) = 47,53 mm

Respuesta

δP = 47,53 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6,944) = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 21,06 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/5000² = 21055 N = 21,06 kN

Respuesta

Pcr = 21,06 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 62,66 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Respuesta

σcr = 62,66 MPa

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