Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?3 m4 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 8 mP1 = 45 kN en 3 mP2 = 15 kN en 7 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.

L = 4 mP = 25 kN en 2 mw = 2 kN/m de 1 a 4 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
10 kN/m40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

40 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 10 kN/mP = 45 kNABsección8 m2 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 8 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 45 kN en 8 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH25 kN35 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 25 kN ↓F: 35 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH15 kN15 kN40 kN30 kN4 × 3 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
7.Flecha de la vigaMedia
w = 2 kN/mδL = 6 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 5 kN/mAB4 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla el valor del momento flector MA en el empotramiento.

L = 4 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 6 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 4 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 30 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​3 m4 m1 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·8 = 45·3 + 15·7
RB = 240/8 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN

Respuesta

RB = 30 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 14,75 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2 + 2·3·2,5
RB = 65/4 = 16,25 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 16,25 = 14,75 kN

Respuesta

RA = 14,75 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 80 kN, R2 = 80 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 140, MC = 240, MD = 300 kN·m, ME = 240, MF = 140, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 300 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 152 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·8 + 10·10·5
RB = 860/10 = 86 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 86 = 59 kN
w = 10 kN/mP = 45 kNABRA​ = 59RB​ = 86sección8 m2 m

Corta en x = 8 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 59·8 − 10·8·4 = 152 kN·m

Respuesta

Mx = 152 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 33,75 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 11,25 kN (T), FG: 33,75 kN (C), GH: 11,25 kN (C), AF: 56,25 kN (C), HE: 18,75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 18,75 kN (T), DG: 18,75 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo G

FG y GH están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 74,25 kN (C), HE: 24,75 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 3,536 kN (C), HC: 3,536 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
7.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 45 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 2·6000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 45 mm

Respuesta

δ = 45 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: MA = 10 kN·m

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7,5 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

MA = wL²/2 − RB·L = 40 − 30 = 10 kN·m

Respuesta

MA = 10 kN·m
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 4,205 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·6000 = 12000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4,205 kN

Respuesta

Pcr = 4,205 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 9,715 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Respuesta

σcr = 9,715 MPa

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