Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P = 25 kNM = 10 kN·mABRB​ = ?0,5 m2 m1,5 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 2,5 m de A y un par antihorario M a 0,5 m de A. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

L = 4 mP = 25 kN en 2,5 mM = 10 kN·m (antihorario) en 0,5 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w0​ = 15 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?9 m1 m

La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga linealmente variable que vale 15 kN/m en el muro y decrece hasta cero en el extremo libre B, además de una carga puntual P a 9 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.

L = 10 mw0 = 15 kN/mP = 40 kN en 9 m
MA = kN·m
3.Cortante y momento flectorMedia
w = 6 kN/mABsección5,5 m4,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 5,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
4.Cortante y momento flectorDifícil
6 kN/m20 kN35 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 0 m35 kN @ 12 m45 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB25 kN8 m1 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 25 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB55 kN5 kN8 m2 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 5 kN ←
FAC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
w = 10 kN/mδL = 2 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 9 kNABδ3,5 m1,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1,5 m del apoyo B. Halla la flecha máxima δmax de la viga.

P = 9 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 3 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 2 md = 60 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 13,13 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·4 − 25·2,5 + 10 = 0
RB = 52,5/4 = 13,13 kN

Equilibrio vertical

RA = 25 − 13,13 = 11,88 kN

Respuesta

RB = 13,13 kN

Una reacción negativa actúa hacia abajo.

2.Reacciones en vigas

Respuesta: MA = 610 kN·m

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Resultante de la carga triangular

W = ½·15·10 = 75 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Momento respecto al muro

MA = W·x̄ + P·a = 75·3,333 + 40·9 = 610 kN·m

Respuesta

MA = 610 kN·m
3.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 74,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30sección5,5 m4,5 m

Corta en x = 5,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 30·5,5 − 6·5,5·2,75 = 74,25 kN·m

Respuesta

Mx = 74,25 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 36,33 kN, R2 = 99,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −40, MC = −19,33, MD = −22,67, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = −140 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 10,94 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·1 → Cy = 3,125 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3,125 = 21,88 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,125/0,2747 = −11,38 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,38)·0,9615 = 10,94 kN

Respuesta

FAC = 10,94 kN (tracción)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 16,88 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB55 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·2 − 5·4 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11,25 = 43,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,5547 = −20,28 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20,28)·0,8321 = 16,88 kN

Respuesta

FAC = 16,88 kN (tracción)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 5,013 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 5,013 mm

Respuesta

δ = 5,013 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 1,678 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 9000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Posición del máximo

Igualando a cero el giro en el tramo más largo se obtiene la posición.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Flecha máxima

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1,678 mm

Respuesta

δmax = 1,678 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 6,229 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Respuesta

Pcr = 6,229 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 27,76 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266,7

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Respuesta

σcr = 27,76 MPa

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