Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w0​ = 8 kN/mP = 20 kNABRB​ = ?3 m3 m

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 8 kN/m en A hasta cero en B. Además actúa una carga puntual P a 3 m de A. Halla la reacción vertical RB.

L = 6 mw0 = 8 kN/mP = 20 kN en 3 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 8 kN/mP = 10 kNQ = 10 kNADCRD​ = ?2 m1,5 m0,5 m2 m

Una viga compuesta está empotrada en el muro en A, tiene una rótula interior en C (a 3,5 m de A) y descansa sobre un apoyo deslizante en D (a 6 m de A). Soporta una carga puntual P a 4 m de A, una carga uniformemente repartida w en todo el tramo CD y una carga puntual Q a 2 m de A. Halla la reacción RD en el apoyo deslizante.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 10 kN en 4 mw = 8 kN/m de 3,5 a 6 mQ = 10 kN en 2 m
RD = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
8 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

45 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
12 kN/m35 kN10 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 0 m10 kN @ 6 m25 kN @ 3 m12 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB30 kN8 m3 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 30 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH20 kN30 kN20 kN15 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 20 kN ↓F: 30 kN ↓F: 20 kN →G: 15 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
7.Flecha de la vigaMedia
P = 7 kNABδ3,5 m0,5 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 3,5 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 7 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 2,5 kN/mABδ6 m

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 125 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/300. Halla el canto mínimo hreq de la sección.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 125 mm
hreq = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m25 × 100 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 2 md = 80 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 18 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·8·6 = 24 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 24·2 + 20·3
RB = 18 kN
RA = 44 − 18 = 26 kN

Respuesta

RB = 18 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RD = 12 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación. Una rótula interior no puede transmitir momento flector, lo que da una ecuación adicional: el momento respecto a la rótula de las fuerzas de cualquiera de los dos lados es nulo.

Tramo CD

La rótula no tiene momento, así que los momentos respecto a C solo en CD deben equilibrarse.

W = 8·2,5 = 20 kN en 1,25 m desde C
ΣMC = 0: RD·2,5 = 10·0,5 + 20·1,25
RD = 12 kN
VC = 30 − 12 = 18 kN

Respuesta

RD = 12 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 46,5 kN, R2 = 46,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 42,5, MC = 77, MD = 103,5 kN·m, ME = 77, MF = 42,5, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 103,5 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 1 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 77,75 kN, R2 = 40,25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = 1,75, MD = 26,5, ME = 14,25, MF = −10, MG = 0

Respuesta

Marca B: MB = −35 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −30,29 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·3 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,3714 = −30,29 kN

Respuesta

FBC = −30,29 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro DH

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo D

CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 47,92 kN (C), HE: 33,33 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 14,58 kN (C), HC: 33,33 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: DH
7.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 69,02 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 56,84 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,02436 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 69,02 mm

Respuesta

δB = 69,02 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: hreq = 264 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Momento de inercia necesario

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,918 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,918 × 10⁸/125)1/3 = 264 mm

Respuesta

hreq = 264 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 22,49 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2000² = 22489 N = 22,49 kN

Respuesta

Pcr = 22,49 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 49,35 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Respuesta

σcr = 49,35 MPa

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