Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P = 45 kNM = 60 kN·mABRA​ = ?2 m1 m7 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 2 m de A y un par antihorario M a 3 m de A. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.

L = 10 mP = 45 kN en 2 mM = 60 kN·m (antihorario) en 3 m
RA = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 8 kN/mP = 75 kNABCRA​ = ?2,5 m0,5 m1,5 m1,5 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 4,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 3 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 2,5 m hasta el extremo libre en 6 m. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 75 kN en 3 mw = 8 kN/m de 2,5 a 6 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
w = 12 kN/mP = 15 kNAB0,5 m2 m

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 0,5 m de A. Halla el momento flector MA en el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 2,5 mP = 15 kN en 0,5 mw = 12 kN/m de 0 a 2,5 m
MA = kN·m
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 2 kN/mP = 50 kNAB4 m4 m

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.

L = 8 mP = 50 kN en 4 mw = 2 kN/m de 0 a 8 m
Mmax = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH40 kN30 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 40 kN ↓D: 30 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB25 kN5 kN4 m3 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 5 kN ←
FBC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
P = 16 kNABδ1 m3 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 16 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 6 kN/mδL = 8 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 1,5 m50 × 60 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 5 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 42 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·10 − 45·2 + 60 = 0
RB = 30/10 = 3 kN

Equilibrio vertical

RA = 45 − 3 = 42 kN

Respuesta

RA = 42 kN

Una reacción negativa actúa hacia abajo.

2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 26,56 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga repartida

W = 8·3,5 = 28 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 75·3 + 28·4,25
RB = 344/4,5 = 76,44 kN
RA = 103 − 76,44 = 26,56 kN

Respuesta

RA = 26,56 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: MA = −45 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m
w: −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m
MA = −7,5 − 37,5 = −45 kN·m

Respuesta

MA = −45 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mmax = 116 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 2·8·4
RB = 264/8 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 33 = 33 kN

¿Dónde es V = 0?

V(4⁻) = RA − w·4 = 25 kN
V(4⁺) = 25 − 50 = −25 kN
El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 33·4 − 2·4²/2 = 116 kN·m

Respuesta

Mmax = 116 kN·m

Se produce en x = 4 m desde A.

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo G

FG y GH están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 28,13 kN (T), BC: 28,13 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 24,37 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 46,88 kN (C), HE: 40,62 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 3,125 kN (C), HC: 3,125 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −14,17 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 − 5·4 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 13,75 = 11,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13,75/0,9701 = −14,17 kN

Respuesta

FBC = −14,17 kN (compresión)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 6,377 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 16000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 1,159 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001739 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,377 mm

Respuesta

δB = 6,377 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·8000⁴/(384·200000·22,22) = 7,2 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 47,98 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3000² = 47977 N = 47,98 kN

Respuesta

Pcr = 47,98 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 8,812 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/12,5 = 280

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Respuesta

σcr = 8,812 MPa

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