Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 70 kNP2​ = 15 kNABCRB​ = ?0,5 m2,5 m1 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 70 kN en 0,5 mP2 = 15 kN en 4 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w0​ = 6 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?2 m2 m

La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga linealmente variable que vale 6 kN/m en el muro y decrece hasta cero en el extremo libre B, además de una carga puntual P a 2 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.

L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 75 kN en 2 m
MA = kN·m
3.Cortante y momento flectorMedia
w = 2 kN/mABsección4 m2 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 2 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 2 kN/mP = 60 kNABsección3 m7 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 60 kN en 3 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH20 kN20 kN25 kN35 kN4 × 4 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 20 kN ↓C: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH15 kN10 kN25 kN4 × 4 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
7.Flecha de la vigaMedia
P = 15 kNABδ1 m4 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 15 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 12 kN/mP = 2 kNδL = 4 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 2 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 100 kNL = 3 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 100 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 100 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 31,67 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·3 = 70·0,5 + 15·4
RB = 95/3 = 31,67 kN

Equilibrio vertical

RA = 70 + 15 − 31,67 = 53,33 kN

Respuesta

RB = 31,67 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: MA = 166 kN·m

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Resultante de la carga triangular

W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Momento respecto al muro

MA = W·x̄ + P·a = 12·1,333 + 75·2 = 166 kN·m

Respuesta

MA = 166 kN·m
3.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 8 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, aplicada en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6sección4 m2 m

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 6·4 − 2·4·2 = 8 kN·m

Respuesta

Mx = 8 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 147 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·3 + 2·10·5
RB = 280/10 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 28 = 52 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 52RB​ = 28sección3 m7 m

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 52·3 − 2·3·1,5 = 147 kN·m

Respuesta

Mx = 147 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro DH

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo D

CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 61,67 kN (T), BC: 61,67 kN (T), CD: 71,67 kN (T), DE: 71,67 kN (T), FG: 96,67 kN (C), GH: 96,67 kN (C), AF: 77,08 kN (C), HE: 89,58 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 43,75 kN (T), HC: 31,25 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: DH
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro DH

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo D

CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 2,5 kN (C), BC: 2,5 kN (C), CD: 2,5 kN (T), DE: 2,5 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 3,536 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 10,61 kN (T), HC: 3,536 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: DH
7.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 21,74 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 3,106 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,004658 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 21,74 mm

Respuesta

δB = 21,74 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 16,93 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 2000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·2,52 × 10¹²) = 1,058 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 15,87 mm

Súmalas

δmax = 1,058 + 15,87 = 16,93 mm

Respuesta

δmax = 16,93 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 4,905 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Respuesta

Pcr = 4,905 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 71,41 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2·100000 = 200000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 71,41 mm

Respuesta

d = 71,41 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 117,6, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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