Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w = 12 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?4 m1 m3 m

La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w desde el muro hasta 4 m y una carga puntual P a 5 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.

L = 8 mP = 10 kN en 5 mw = 12 kN/m de 0 a 4 m
MA = kN·m
2.Reacciones en vigasDifícil
P = 15 kN, 30°Q = 65 kNABα = ?3,5 m1,5 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 5 m de A, inclinada 30° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3,5 m de A. Halla el ángulo α entre la reacción total en la articulación A y la horizontal.

L = 6 mP = 15 kN en 5 m, θ = 30°Q = 65 kN en 3,5 m
α = °
3.Cortante y momento flectorMedia
15 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
6 kN/m10 kN10 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 0 m10 kN @ 12 m55 kN @ 4 m6 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB15 kN6 m4 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 15 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB20 kN15 kN4 m1 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 20 kNcarga horizontal = 15 kN ←
FAC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
P = 25 kNABδ1,5 m0,5 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1,5 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 25 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 12 kN/mAB6 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.

L = 6 mw = 12 kN/m
RB = kN
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 md = 80 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 135 kNL = 1,5 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 135 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 135 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: MA = 146 kN·m

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Resultante de la carga repartida

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m

Momento respecto al muro

MA = P·a + W·x̄ = 10·5 + 48·2 = 146 kN·m

Respuesta

MA = 146 kN·m
2.Reacciones en vigas

Respuesta: α = 65,37 °

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Componentes de P

Pv = 15·sin 30° = 7,5 kN
Ph = 15·cos 30° = 12,99 kN

Reacciones

ΣMA = 0: RB·6 = 7,5·5 + 65·3,5 → RB = 44,17 kN
Ay = 7,5 + 65 − 44,17 = 28,33 kN
Ax = Ph = 12,99 kN

Dirección en A

α = atan(Ay/Ax) = atan(28,33/12,99) = 65,37°

Respuesta

α = 65,37°
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 95 kN, R2 = 95 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 160, MC = 260, MD = 300 kN·m, ME = 260, MF = 160, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 300 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 75,25 kN, R2 = 47,75 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −20, MC = 98,5 kN·m, MD = 83, ME = 43,5, MF = −20, MG = 0

Respuesta

Marca C: MC = 98,5 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 5 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 10 = 5 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,8944 = −11,18 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,18)·0,4472 = 5 kN

Respuesta

FAC = 5 kN (tracción)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = −7,5 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 − 15·4 → Cy = −10 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −10 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−10/0,8 = 12,5 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(12,5)·0,6 = −7,5 kN

Respuesta

FAC = −7,5 kN (compresión)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 67,28 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 25000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 44,86 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,04486 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 67,28 mm

Respuesta

δB = 67,28 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: RB = 27 kN

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

Respuesta

RB = 27 kN
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 222,3 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Respuesta

Pcr = 222,3 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 97,28 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 97,28 mm

Respuesta

d = 97,28 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 123,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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