Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 15 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1,5 m3 m1,5 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 6 mP1 = 15 kN en 1,5 mP2 = 15 kN en 4,5 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
P = 15 kN, 60°Q = 65 kNABRA​ = ?0,5 m2,5 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 0,5 m de A, inclinada 60° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.

L = 4 mP = 15 kN en 0,5 m, θ = 60°Q = 65 kN en 3 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
8 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 6 m8 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 8 kN/mP = 20 kNABsección1,5 m1 m1,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 20 kN en 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB10 kN4 m3 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 10 kN
FAB = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB40 kN20 kN8 m6 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 4 mB está a 6 m de Acarga vertical = 40 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FAC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 8 kNABδ3 m1 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1 m del apoyo B. Halla la flecha δmid en el centro del vano.

P = 8 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 1 md = 25 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 90 kNL = 6 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 90 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 90 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 15 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

P1​ = 15 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1,5 m3 m1,5 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·1,5 + 15·4,5
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN

Respuesta

RB = 15 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 28,62 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Componentes de P

Pv = 15·sin 60° = 12,99 kN
Ph = 15·cos 60° = 7,5 kN

Reacciones

ΣMA = 0: RB·4 = 12,99·0,5 + 65·3 → RB = 50,37 kN
Ay = 12,99 + 65 − 50,37 = 27,62 kN
Ax = Ph = 7,5 kN

Resultante en A

RA = √(7,5² + 27,62²) = 28,62 kN

Respuesta

RA = 28,62 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 67,67 kN, R2 = 46,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 119,3, MC = 206,7, MD = 262 kN·m, ME = 185,3, MF = 92,67, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 262 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 26,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,5 + 8·4·2
RB = 94/4 = 23,5 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 23,5 = 28,5 kN
w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​ = 28,5RB​ = 23,5sección1,5 m1 m1,5 m

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 28,5·2,5 − 20·(2,5 − 1,5) − 8·2,5·1,25 = 26,25 kN·m

Respuesta

Mx = 26,25 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAB = −4,507 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 7,5 = 2,5 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

Respuesta

FAB = −4,507 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 10 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB40 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·6 − 20·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 20 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0,8944 = −22,36 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22,36)·0,4472 = 10 kN

Respuesta

FAC = 10 kN (tracción)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 3,172 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 3,172 mm

Respuesta

δ = 3,172 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmid = 2,91 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 8000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flecha en el centro del vano

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 8000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·2,52 × 10¹²) = 2,91 mm

Respuesta

δmid = 2,91 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 3,312 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Respuesta

Pcr = 3,312 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 75,66 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 75,66 mm

Respuesta

d = 75,66 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 222, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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