Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
w = 2 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?5 m1 m2 m

La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w desde el muro hasta 5 m y una carga puntual P a 6 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.

L = 8 mP = 80 kN en 6 mw = 2 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​3 m5 m2 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.

L = 10 mP = 20 kN en 3 mw = 2 kN/m de 8 a 10 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
35 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 3 m55 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 6 kN/mP = 25 kNAB2 m2 m

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.

L = 4 mP = 25 kN en 2 mw = 6 kN/m de 0 a 4 m
Mmax = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH40 kN15 kN4 × 4 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

D: 40 kN ↓G: 15 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH30 kN4 × 4 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

H: 30 kN ←
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
7.Flecha de la vigaMedia
w = 2 kN/mδL = 3 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla el valor del momento flector MA en el empotramiento.

L = 5 mP = 60 kN en 2,5 m
MA = kN·m
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 115 kNL = 2,5 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 115 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 115 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: MA = 505 kN·m

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Resultante de la carga repartida

W = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m

Momento respecto al muro

MA = P·a + W·x̄ = 80·6 + 10·2,5 = 505 kN·m

Respuesta

MA = 505 kN·m
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 14,4 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​RB​3 m5 m2 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, aplicada en x̄ = 9 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 2·2·9
RB = 96/10 = 9,6 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 9,6 = 14,4 kN

Respuesta

RA = 14,4 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 63,33 kN, R2 = 26,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 63,33, MC = 71,67, MD = 80 kN·m, ME = 53,33, MF = 26,67, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 80 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mmax = 37 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2 + 6·4·2
RB = 98/4 = 24,5 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 24,5 = 24,5 kN

¿Dónde es V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 12,5 kN
V(2⁺) = 12,5 − 25 = −12,5 kN
El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 24,5·2 − 6·2²/2 = 37 kN·m

Respuesta

Mmax = 37 kN·m

Se produce en x = 2 m desde A.

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 17,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 17,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 53,03 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 37,5 kN (T), BG: 24,75 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 22,5 kN (C), BC: 15 kN (C), CD: 15 kN (C), DE: 7,5 kN (C), FG: 7,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 10,61 kN (C), HE: 10,61 kN (T), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (C), BG: 10,61 kN (C), DG: 10,61 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
7.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 8,337 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 8,337 mm

Respuesta

δmax = 8,337 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: MA = 56,25 kN·m

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

MA = P·L/2 − RB·L = 150 − 93,75 = 56,25 kN·m

Respuesta

MA = 56,25 kN·m
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 4,905 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Respuesta

Pcr = 4,905 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 89,3 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 89,3 mm

Respuesta

d = 89,3 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 112, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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