Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 75 kNP2​ = 20 kNABCRB​ = ?0,5 m2,5 m1 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 75 kN en 0,5 mP2 = 20 kN en 4 m
RB = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​3 m4 m1 m2 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.

L = 10 mP = 45 kN en 7 mw = 5 kN/m de 3 a 8 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
10 kN/m15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 3 m10 kN/m, 2–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
10 kN/m25 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 6 m50 kN @ 3 m10 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB30 kN8 m5 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 4 mB está a 5 m de Acarga vertical = 30 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB50 kN20 kN6 m1 m3 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FBC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
P = 16 kNABδ1 m1 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 16 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 15 kN/mδL = 6 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 1,5 m20 × 60 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 4 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 39,17 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·3 = 75·0,5 + 20·4
RB = 117,5/3 = 39,17 kN

Equilibrio vertical

RA = 75 + 20 − 39,17 = 55,83 kN

Respuesta

RB = 39,17 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 24,75 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​RB​3 m4 m1 m2 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, aplicada en x̄ = 5,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·7 + 5·5·5,5
RB = 452,5/10 = 45,25 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 45,25 = 24,75 kN

Respuesta

RA = 24,75 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 20,83 kN, R2 = 34,17 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 20,83, MC = 41,67, MD = 57,5 kN·m, ME = 48,33, MF = 29,17, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 57,5 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 40 kN, R2 = 85 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 35, MC = 60, MD = 75 kN·m, ME = 30, MF = −25, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 75 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 14,06 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·5 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,8 = −23,44 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23,44)·0,6 = 14,06 kN

Respuesta

FAC = 14,06 kN (tracción)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = 3,239 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB50 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 − 20·3 → Cy = −1,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − −1,667 = 51,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1,667/0,5145 = 3,239 kN

Respuesta

FBC = 3,239 kN (tracción)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 3,342 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 16000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 1,337 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002005 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,342 mm

Respuesta

δB = 3,342 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 75,94 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·200000·16,67) = 7,594 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 75,94 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 75,94 × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 12,28 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1500² = 12282 N = 12,28 kN

Respuesta

Pcr = 12,28 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 1,687 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12,5 = 640

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1,687 MPa

Respuesta

σcr = 1,687 MPa

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