Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 25 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​1 m0,5 m4,5 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.

L = 6 mP1 = 25 kN en 1 mP2 = 30 kN en 1,5 m
RA = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
P = 80 kNQ = 55 kNADCRD​ = ?5 m1 m3 m1 m

Una viga compuesta está empotrada en el muro en A, tiene una rótula interior en C (a 6 m de A) y descansa sobre un apoyo deslizante en D (a 10 m de A). Soporta una carga puntual P a 9 m de A y una carga puntual Q a 5 m de A. Halla la reacción RD en el apoyo deslizante.

AC = 6 mAD = 10 mP = 80 kN en 9 mQ = 55 kN en 5 m
RD = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
10 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
35 kN25 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 0 m25 kN @ 6 m50 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB45 kN8 m6 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 2 mB está a 6 m de Acarga vertical = 45 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB25 kN5 kN4 m1 m3 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 5 kN →
FAC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
w = 15 kN/mP = 14 kNABδ1,5 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 14 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
w = 20 kN/mδL = 5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m40 × 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 50 kNL = 2,5 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 50 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 43,33 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

P1​ = 25 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m0,5 m4,5 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 30·1,5
RB = 70/6 = 11,67 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 11,67 = 43,33 kN

Respuesta

RA = 43,33 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RD = 60 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación. Una rótula interior no puede transmitir momento flector, lo que da una ecuación adicional: el momento respecto a la rótula de las fuerzas de cualquiera de los dos lados es nulo.

Tramo CD

La rótula no tiene momento, así que los momentos respecto a C solo en CD deben equilibrarse.

ΣMC = 0: RD·4 = 80·3
RD = 60 kN
VC = 80 − 60 = 20 kN

Respuesta

RD = 60 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 70 kN, R2 = 50 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 65, MC = 120 kN·m, MD = 105, ME = 80, MF = 45, MG = 0

Respuesta

Marca C: MC = 120 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 1 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 62,5 kN, R2 = 47,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = −7,5, MD = 20, ME = −2,5, MF = −25, MG = 0

Respuesta

Marca B: MB = −35 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 33,75 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·6 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33,75/0,7071 = −47,73 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−47,73)·0,7071 = 33,75 kN

Respuesta

FAC = 33,75 kN (tracción)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 10 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 + 5·3 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 10 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,7071 = −14,14 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14,14)·0,7071 = 10 kN

Respuesta

FAC = 10 kN (tracción)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 27,32 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(3EI) = 14000·1500³/(3·9,24 × 10¹¹) = 17,05 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 10,27 mm

Súmalas

δ = 17,05 + 10,27 = 27,32 mm

Respuesta

δ = 27,32 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 167,4 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,674 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 167,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 167,4 × 10⁶ mm⁴
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 8,225 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·4000 = 8000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/8000² = 8225 N = 8,225 kN

Respuesta

Pcr = 8,225 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 44,58 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 44,58 mm

Respuesta

d = 44,58 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 157, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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