Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 10 kN/m en A hasta cero en B. Halla la reacción vertical R_B.

L = 8 mw₀ = 10 kN/m

R_B = kN

2.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 5 mP = 55 kN en 2 mw = 8 kN/m de 3 a 5 m

R_A = kN

3.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 2 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 35 kN en 1 mw = 3 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 60 kN

F_AC = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_BC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 30 kNcarga horizontal = 15 kN →

F_BC = kN

7.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acero)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 13,33 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2,667

R_B = 13,33 kN

R_A = 40 − 13,33 = 26,67 kN

Respuesta

R_B = 13,33 kN

2.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 36,2 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2 + 8·2·4

R_B = 174/5 = 34,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 34,8 = 36,2 kN

Respuesta

R_A = 36,2 kN

3.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 48,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 96,67, M_C = 153,3, M_D = 170 kN·m, M_E = 146,7, M_F = 83,33, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 170 kN·m

4.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 30,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 3·4·2

R_B = 59/4 = 14,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 14,75 = 32,25 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 32,25·1 − 3·1·0,5 = 30,75 kN·m

Respuesta

M_x = 30,75 kN·m

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 11,25 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,8 = −18,75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,75)·0,6 = 11,25 kN

Respuesta

F_AC = 11,25 kN (tracción)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_BC = −37,11 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 + 15·4 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 36 = −6 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36/0,9701 = −37,11 kN

Respuesta

F_BC = −37,11 kN (compresión)

7.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 4,739 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 4,739 mm

Respuesta

δ_max = 4,739 mm

8.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,125 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

9.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 228,5 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228,5 kN

Respuesta

P_cr = 228,5 kN

10.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 7,676 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Respuesta

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis