Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P = 40 kNM = 10 kN·mABRA​ = ?1,5 m1 m1,5 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 1,5 m de A y un par horario M a 2,5 m de A. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.

L = 4 mP = 40 kN en 1,5 mM = 10 kN·m (horario) en 2,5 m
RA = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.

L = 5 mP = 15 kN en 3 mw = 8 kN/m de 3 a 5 m
RB = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
M0​ = 40 kN·mAB1 m3 m

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 40 kN·m en x = 1 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mM0 = 40 kN·m en sentido horario, en 1 m
Mx = kN·m
4.Cortante y momento flectorDifícil
w = 8 kN/mP = 15 kNABsección2,5 m1,5 m1 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 15 kN en 4 mw = 8 kN/m de 0 a 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH30 kN35 kN25 kN30 kN4 × 4 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 30 kN ↓C: 35 kN ↓D: 25 kN ↓F: 30 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH15 kN15 kN10 kN35 kN30 kN4 × 3 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

D: 15 kN ↓F: 15 kN ↓F: 10 kN →G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
7.Flecha de la vigaMedia
w = 8 kN/mP = 20 kNABδ2,5 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 20 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 20 kNAB2 m2 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla el valor del momento flector MA en el empotramiento.

L = 4 mP = 20 kN en 2 m
MA = kN·m
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 3 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
P = 10 kNL = 2 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 10 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 10 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 22,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·4 − 40·1,5 − 10 = 0
RB = 70/4 = 17,5 kN

Equilibrio vertical

RA = 40 − 17,5 = 22,5 kN

Respuesta

RA = 22,5 kN

Una reacción negativa actúa hacia abajo.

2.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 21,8 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​RB​3 m2 m

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·3 + 8·2·4
RB = 109/5 = 21,8 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 21,8 = 9,2 kN

Respuesta

RB = 21,8 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = −10 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −10 kN (hacia abajo)

Corte justo a la izquierda del par

La parte izquierda solo contiene RA.

Mx = RA·a = −10·1 = −10 kN·m

Respuesta

Mx = −10 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 32,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·4 + 8·5·2,5
RB = 160/5 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 32 = 23 kN
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = 23RB​ = 32sección2,5 m1,5 m1 m

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 23·2,5 − 8·2,5·1,25 = 32,5 kN·m

Respuesta

Mx = 32,5 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo G

FG y GH están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 68,75 kN (T), BC: 68,75 kN (T), CD: 51,25 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 97,23 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 12,37 kN (T), HC: 37,12 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 37,5 kN (T), BC: 53,75 kN (T), CD: 53,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 45,83 kN (C), HE: 72,92 kN (C), BF: 21,67 kN (T), CG: 0, DH: 28,33 kN (T), BG: 27,08 kN (C), DG: 16,67 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
7.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 4,476 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(3EI) = 20000·2500³/(3·3,2 × 10¹³) = 3,255 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,221 mm

Súmalas

δ = 3,255 + 1,221 = 4,476 mm

Respuesta

δ = 4,476 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: MA = 15 kN·m

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

MA = P·L/2 − RB·L = 40 − 25 = 15 kN·m

Respuesta

MA = 15 kN·m
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 6,229 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Respuesta

Pcr = 6,229 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 47,18 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 47,18 mm

Respuesta

d = 47,18 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 339,1, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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