Análisis de estructuras: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABCRA​ = ?3 m2 m3 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 45 kN en 3 mP2 = 10 kN en 8 m
RA = kN
2.Reacciones en vigasDifícil
P = 55 kN, 40°Q = 65 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 2 m de A, inclinada 40° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.

L = 4 mP = 55 kN en 2 m, θ = 40°Q = 65 kN en 3 m
RA = kN
3.Cortante y momento flectorMedia
10 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 2 m10 kN/m, 2–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Cortante y momento flectorDifícil
15 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 12 m60 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABBCACACB15 kN4 m3 m2 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 15 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABBCACACB30 kN20 kN6 m4 m4 m

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 30 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FAC = kN
7.Flecha de la vigaMedia
P = 12 kNABδ1,5 m4,5 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1,5 m de A. Halla la flecha δP bajo la carga.

P = 12 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flecha de la vigaDifícil
P = 19 kNABδ3 m1 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1 m del apoyo B. Halla la flecha δmid en el centro del vano.

P = 19 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2 md = 40 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 6 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 12 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·5 = 45·3 + 10·8
RB = 215/5 = 43 kN

Equilibrio vertical

RA = 45 + 10 − 43 = 12 kN

Respuesta

RA = 12 kN
2.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 54,09 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Componentes de P

Pv = 55·sin 40° = 35,35 kN
Ph = 55·cos 40° = 42,13 kN

Reacciones

ΣMA = 0: RB·4 = 35,35·2 + 65·3 → RB = 66,43 kN
Ay = 35,35 + 65 − 66,43 = 33,93 kN
Ax = Ph = 42,13 kN

Resultante en A

RA = √(42,13² + 33,93²) = 54,09 kN

Respuesta

RA = 54,09 kN
3.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 50 kN, R2 = 30 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 50, MC = 100 kN·m, MD = 85, ME = 60, MF = 30, MG = 0

Respuesta

Marca C: MC = 100 kN·m
4.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 7,5 kN, R2 = 67,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 15, MC = 30, MD = 45, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = −60 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FBC = −12,58 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,8944 = −12,58 kN

Respuesta

FBC = −12,58 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: FAC = 3,333 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

ABBCACACB30 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·4 − 20·4 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 6,667 = 23,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,667/0,8944 = −7,454 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−7,454)·0,4472 = 3,333 kN

Respuesta

FAC = 3,333 kN (tracción)
7.Flecha de la viga

Respuesta: δP = 1,607 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 12000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δP = Pa³/(3EI) = 12000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 1,607 mm

Respuesta

δP = 1,607 mm
8.Flecha de la viga

Respuesta: δmid = 43,98 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el centro del vano

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 19000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·3,96 × 10¹¹) = 43,98 mm

Respuesta

δmid = 43,98 mm
9.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 126,6 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126,6 kN

Respuesta

Pcr = 126,6 kN
10.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 11,99 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Respuesta

σcr = 11,99 MPa

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