Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que crece desde cero en A hasta 4 kN/m en B. Además actúa una carga puntual P a 2 m de A. Halla la reacción vertical RB.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 10 kN·m en x = 9 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia xc desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 3 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 140 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
Respuesta: RB = 22,33 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: RB = 19,38 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: Mx = −9 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
La parte izquierda solo contiene RA.
Respuesta: xc = 4,958 m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.
Entre los apoyos M(x) = RA·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2RA/w.
Respuesta: miembro DH
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Respuesta: FAB = −60,84 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
Respuesta: δB = 36,73 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.
Respuesta: δmax = 1,458 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: Pcr = 402,8 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Respuesta: d = 63,18 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Comprobación: la esbeltez KL/r es 133, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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