Termodinámica I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de los gases ideales

Ley de los gases ideales: pV = nRT
Constante de los gases: R = 8,314 J/(mol·K)
Ley combinada de los gases: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Balance de energía

Calor sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calor latente: Q = ṁ·h_fg
Mezcla: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Agua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Máquinas térmicas y frigoríficas

Rendimiento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimiento de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorífico: COP_R = Q_C/W
COP de la bomba de calor: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Balance de energía: Q_H = W + Q_C

Ciclos de potencia de gas

Isentrópico, relación de volúmenes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrópico, relación de presiones: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimiento del ciclo Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimiento del ciclo Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimiento del ciclo Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calor aportado: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Trabajo neto del ciclo Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimientos isentrópicos: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aire frío: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Problemas de práctica

1.Ley de los gases idealesMedia

¿Qué volumen V ocupan 350 g de He a 650 kPa y 5 °C? Trátalo como un gas ideal.

m = 350 gM = 4,003 g/molP = 650 kPaT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ley de los gases idealesDifícil

Halla la densidad ρ de CO₂ a 500 kPa y 170 °C, tratándolo como un gas ideal.

M = 44,01 g/molP = 500 kPaT = 170 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Balance de energíaMedia

etanol caliente enfría agua en un intercambiador a contracorriente sin pérdidas de calor. Halla la temperatura de salida del agua t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 80 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Balance de energíaDifícil

aceite ligero caliente calienta agua en un intercambiador que pierde hacia el entorno el 5 % del calor cedido por la corriente caliente. Halla el caudal de agua ṁ_c necesario.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 110 °Ct: 15 → 30 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pérdida = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficasMedia

Una máquina térmica recibe calor de un foco a 700 °C y cede calor al ambiente a 30 °C. Su rendimiento térmico real es del 48 %. Halla su rendimiento exergético (de segundo principio) η_II, el cociente entre el rendimiento real y el de Carnot.

T_H = 700 °CT_L = 30 °Cη = 48%

η_II = %

6.Máquinas térmicas y frigoríficasDifícil

Una bomba de calor mantiene una casa a 22 °C mientras fuera hay -5 °C, y aporta 7 kW de calor a la casa. Halla el máximo coeficiente de rendimiento posible COP_max.

T_H = 22 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 7 kW

COP_max =

7.Ciclos de potencia de gasMedia

Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 15 y una relación de corte r_c = v₃/v₂ = 1,5. Al comienzo de la compresión el aire está a 290 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla la temperatura T₃ al final del aporte de calor, en K.

r = 15r_c = 1,5T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Ciclos de potencia de gasDifícil

Una central de turbina de gas funciona según un ciclo Brayton con una relación de presiones en el compresor de 6. El aire entra en el compresor a 300 K y en la turbina a 1300 K. El compresor tiene un rendimiento isentrópico del 80 % y la turbina del 88 %. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el trabajo neto w_net por kilogramo de aire, en kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 300 KT₃ = 1300 Kη_c = 80%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Disoluciones

1.Ley de los gases ideales

Respuesta: V = 311,1 L

Ley de los gases ideales: PV = nRT, con n = m/M.

Moles

n = 350/4,003 = 87,43 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Volumen

V = nRT/P = 87,43·8,314·278,1/650 = 311,1 L

Respuesta

V = 311,1 L

2.Ley de los gases ideales

Respuesta: ρ = 5,973 kg/m³

Densidad de un gas ideal: ρ = PM/(RT).

Reordena la ley de los gases

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273,15 = 443,1 K

Densidad

ρ = 500·44,01/(8,314·443,1) = 5,973 kg/m³

Respuesta

ρ = 5,973 kg/m³

3.Balance de energía

Respuesta: t_out = 68,78 °C

Balance de energía del intercambiador: sin pérdidas, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calor cedido por la corriente caliente

Q = 1,5·2,44·(180 − 80) = 366 kW

Calor que recibe el agua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 366/(2·4,18) = 68,78 °C

Respuesta

t_out = 68,78 °C

4.Balance de energía

Respuesta: ṁ_c = 0,9545 kg/s

Balance de energía con pérdidas: calor cedido = calor absorbido + calor perdido.

Calor cedido

Q_h = 0,5·2,1·(170 − 110) = 63 kW

Calor que llega al agua

Q_c = (1 − 0,05)·63 = 59,85 kW

Caudal de agua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 59,85/(4,18·15) = 0,9545 kg/s

Respuesta

ṁ_c = 0,9545 kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: η_II = 69,72 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Rendimiento de Carnot

η_Carnot = 1 − 303,1/973,1 = 68,85 %

Rendimiento de segundo principio

η_II = η/η_Carnot = 48/68,85 = 69,72 %

Respuesta

η_II = 69,72 %

6.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: COP_max = 10,93

Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas T_H y T_L puede superar al ciclo reversible (de Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) y COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). La energía siempre se conserva: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Mejor COP posible

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 268,1) = 10,93

Respuesta

COP_max = 10,93

7.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: T₃ = 1285 K

Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Final de la compresión

T₂ = 290·15^0,4 = 856,7 K

Aporte de calor a presión constante

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·856,7 = 1285 K

Respuesta

T₃ = 1285 K

8.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: w_net = 208,7 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k y η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Trabajo neto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita w_s/η_c y la turbina da η_t·w_s.

Temperaturas isentrópicas

T_2s = 300·6^0,2857 = 500,6 K

T_4s = 1300/6^0,2857 = 779,1 K

Trabajo del compresor y de la turbina

w_c = 1,005·(500,6 − 300)/0,8 = 251,9 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1300 − 779,1) = 460,7 kJ/kg

Trabajo neto

w_net = 460,7 − 251,9 = 208,7 kJ/kg

Respuesta

w_net = 208,7 kJ/kg

Relación de trabajo de retroceso: w_c/w_t = 54,69%.

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