Ondas y óptica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Muelles y péndulos

Masa en un muelle: T = 2π·√(m/k)
Péndulo: T = 2π·√(L/g)
Frecuencia angular: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidad y aceleración máximas: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energía: E = ½·k·A²

Ondas, sonido y óptica

Velocidad de la onda: v = fλ, T = 1/f
Cuerda: v = √(T/μ), μ = m/L
Nivel sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Fuente puntual: I = P/(4πr²)
Ondas estacionarias: cuerda o tubo abierto f_n = n·v/(2L); tubo cerrado f_n = n·v/(4L), n impar
Efecto Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Índice de refracción: n = c/v, λ = λ₀/n
Ley de Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ángulo crítico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra óptica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentes y espejos: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doble rendija: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Red de difracción: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Rendija simple: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.

2Problemas de práctica

1.Muelles y péndulosMedia

Una masa de 1,8 kg unida a un muelle con k = 350 N/m se desplaza 13 cm en sentido positivo y se suelta desde el reposo en t = 0. Halla su desplazamiento x respecto al equilibrio en t = 0,4 s (con signo).

m = 1,8 kgk = 350 N/mA = 13 cmt = 0,4 s

x = cm

2.Muelles y péndulosDifícil

Una masa de 2,9 kg unida a un muelle con k = 470 N/m se separa 10 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla la energía total E de la oscilación.

m = 2,9 kgk = 470 N/mA = 10 cm

E = J

3.Ondas, sonido y ópticaMedia

Un objeto de 1,5 cm de altura está a 60 cm delante de una lente delgada convergente con una distancia focal de 8 cm. Halla la altura de la imagen h_i (negativa para una imagen invertida).

h_o = 1,5 cmd_o = 60 cmf = 8 cm

h_i = cm

4.Ondas, sonido y ópticaDifícil

Luz de longitud de onda 633 nm incide en ángulo recto sobre una red con 1200 líneas por milímetro. Halla el ángulo θ₁ del máximo de orden 1.

N = 1200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3Disoluciones

1.Muelles y péndulos

Respuesta: x = 9,897 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Frecuencia angular

ω = √(350/1,8) = 13,94 rad/s

ω·t = 13,94·0,4 = 5,578 rad

Desplazamiento

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(5,578) = 9,897 cm

Respuesta

x = 9,897 cm

2.Muelles y péndulos

Respuesta: E = 2,35 J

Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².

Frecuencia angular

ω = √(470/2,9) = 12,73 rad/s

Energía

E = ½·k·A² = ½·470·0,1² = 2,35 J

Respuesta

E = 2,35 J

3.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: h_i = −0,2308 cm

Óptica geométrica: en una frontera, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal y n = c/v. Al pasar a un medio más lento el rayo se acerca a la normal. Desde un medio más denso (n₁ > n₂), más allá del ángulo crítico θ_c = arcsin(n₂/n₁), toda la luz se refleja: reflexión interna total. Las lentes delgadas y los espejos esféricos obedecen a 1/f = 1/d_o + 1/d_i con el aumento m = −d_i/d_o. Convenio de signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo; d_i > 0 para una imagen real, d_i < 0 para una virtual, y m < 0 para una imagen invertida.

Ecuación de la lente delgada

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/60

d_i = 9,231 cm

Aumento y altura

m = −9,231/60 = −0,1538

h_i = −0,1538·1,5 = −0,2308 cm

Respuesta

h_i = −0,2308 cm

4.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: θ₁ = 49,43 °

Interferencia y difracción: la luz de dos rendijas separadas una distancia d llega a un punto de la pantalla con una diferencia de camino d·sin θ. Las franjas brillantes aparecen donde d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Para una pantalla a una distancia L ≫ d, la m-ésima franja brillante está en y = mλL/d y la separación entre franjas es Δy = λL/d. Una red con N líneas por milímetro tiene d = 1/N y máximos nítidos en d·sin θ = mλ; como sin θ ≤ 1, el orden más alto es el mayor entero m ≤ d/λ. Una sola rendija de anchura a tiene franjas oscuras en a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Separación entre líneas

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Ecuación de la red

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,7596

θ = 49,43°

Respuesta

θ₁ = 49,43°

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