Hoja de ejercicios de Optimización con soluciones

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina rectangular de cartón de 18 cm × 48 cm recortando cuadrados iguales de lado x en las cuatro esquinas y doblando los laterales. Halla el volumen máximo posible V.

Un cercado rectangular se valla con 72 m de valla y se divide en dos partes con una valla adicional paralela a los lados de longitud x (en total, tres vallas de longitud x y dos de longitud y). Halla la longitud x que da el área total máxima.

Una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada debe contener 4000 cm³. Usa el mínimo material posible, es decir, la menor área de la base más los cuatro laterales. Halla la superficie mínima S.

Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 500 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla el radio r que usa menos material.

Un teatro vende 875 entradas por función a 25 € cada una. Un estudio de mercado indica que cada aumento de 1 € en el precio de la entrada supone 25 entradas vendidas menos (y cada bajada de 1 €, 25 más). Halla el precio de la entrada p que maximiza los ingresos.

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 110 − 0,1q euros por unidad, y el coste es C(q) = 6100 + 20q euros. Halla la producción semanal q que maximiza el beneficio.