Hoja de ejercicios de Optimización con soluciones

Un agricultor tiene 240 m de valla para cercar un campo rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. Halla la longitud x de cada lado perpendicular al río para obtener el área máxima.

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina rectangular de cartón de 18 cm × 48 cm recortando cuadrados iguales de lado x en las cuatro esquinas y doblando los laterales. Halla el corte x que da el volumen máximo.

Una parcela rectangular de 400 m² se valla por los cuatro lados. El lado de la calle, de longitud x, cuesta 40 € por metro; los otros tres lados cuestan 12 € por metro. Halla el coste total mínimo C.

Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 1000 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla la altura h de la lata que usa menos material.

Una pequeña empresa vende su producto a un precio de mercado fijo de 80 € por unidad. Producir q unidades cuesta C(q) = 400 + 46q + 0,2q² euros. Halla la producción q que maximiza el beneficio.

Un teatro vende 320 entradas por función a 12 € cada una. Un estudio de mercado indica que cada aumento de 1 € en el precio de la entrada supone 20 entradas vendidas menos (y cada bajada de 1 €, 20 más). Halla los ingresos máximos R por función.