Hoja de ejercicios de Optimización con soluciones

Un agricultor tiene 160 m de valla para cercar un campo rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. Halla la longitud x de cada lado perpendicular al río para obtener el área máxima.

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina rectangular de cartón de 21 cm × 45 cm recortando cuadrados iguales de lado x en las cuatro esquinas y doblando los laterales. Halla el corte x que da el volumen máximo.

Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 330 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla la altura h de la lata que usa menos material.

Una parcela rectangular de 400 m² se valla por los cuatro lados. El lado de la calle, de longitud x, cuesta 20 € por metro; los otros tres lados cuestan 12 € por metro. Halla el coste total mínimo C.

Un teatro vende 1760 entradas por función a 25 € cada una. Un estudio de mercado indica que cada aumento de 1 € en el precio de la entrada supone 40 entradas vendidas menos (y cada bajada de 1 €, 40 más). Halla el precio de la entrada p que maximiza los ingresos.

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 60 − 0,1q euros por unidad, y el coste es C(q) = 1300 + 10q euros. Halla el beneficio semanal máximo P.