Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Trouvez la limite L = limx→∞ (√(4x2 − 4x) − 2x).
Trouvez la limite L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².
Soit f(x) = x3·ex. Calcule f′(1).
Soit f(x) = x3 − 10,5x2 + 30x + 1. Trouve l'abscisse x du maximum local.
Un terrain rectangulaire de 1200 m² est clôturé sur ses quatre côtés. Le côté le long de la rue, de longueur x, coûte 30 € par mètre ; les trois autres côtés coûtent 5 € par mètre. Trouvez le coût total minimal C.
Un théâtre vend 1640 billets par représentation à 12 € l’unité. Une étude de marché montre que chaque hausse de 1 € du prix du billet fait vendre 40 billets de moins (et chaque baisse de 1 €, 40 de plus). Trouvez la recette maximale R par représentation.
Calculez I = ∫₁5 x·ln x dx.
Calculez I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.
Réponse: L = −1
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: L = 0,5
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: f′(1) = 10,87
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: x = 2
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
f″(x) = 6x − 21 : négative en un maximum, positive en un minimum.
Réponse: C = 1296 €
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
C″(x) = 24000/x³ > 0, c’est donc un minimum.
Réponse: R = 28090 €
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
R″(p) = −80 < 0, c’est donc un maximum.
Réponse: I = 14,12
Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.
Réponse: I = 37,59
Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.
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