Analyse 1 : exercices et sujets d’examen

Dérivées et intégrales : les règles de dérivation, des applications comme les tangentes et l’optimisation, et les principales techniques d’intégration.

S’entraîner gratuitement sur ce coursS’entraîner sur ce coursPasser un examen blanc5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.

Pack de révision (PDF)Formulaires, étapes de méthode et exercices avec corrigés complets, prêts à imprimer.

Thèmes de ce cours

  1. Limitessubstitution directe et factorisation · limites à l’infini · Règle de L'Hôpitalcalculs
  2. Dérivéesrègle des puissances · dérivation en chaîne et du produit · tangentes et extremumscalculs
  3. Optimisationaire ou volume maximal · coût ou matière minimal · bénéfice et recettecalculs
  4. Intégralespolynômes · exponentielles, logarithmes et changement de variable · aires entre courbescalculs

Conseils pour l’examen de Analyse 1

  • Écrivez entièrement la dérivée d’une fonction composée : la dérivée de la fonction extérieure fois la dérivée de la fonction intérieure.
  • Vérifiez une intégrale en dérivant votre résultat.
  • Pour une intégrale définie, un changement de variable change aussi les bornes.

Exemples corrigés

LimitesFacile
xyx = 1

Trouvez la limite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calculer L

Afficher les indices
  1. La substitution donne 0/0. Factorisez le numérateur.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).

Essayer la substitution directe

numérateur → 0 et dénominateur → 0 : la forme est 0/0.

Factoriser et simplifier

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Remplacer

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Réponse

L = 4

C’est la dérivée de xⁿ en x = a : n·aⁿ⁻¹.

DérivéesMoyen
xyx = 1

Soit f(x) = x3·e−x. Calcule f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calculer f′(1)

Afficher les indices
  1. Règle du produit avec u = x3 et v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Règle du produit

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Remplacer

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Réponse

f′(1) = 0,7358

Comment fonctionne l’entraînement

  • « S’entraîner sur ce cours » mélange des exercices de tous ses thèmes, comme un vrai examen.
  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Les examens blancs sont chronométrés et sans indices ; vous obtenez votre score et une correction complète à la fin.

Calculatrices pour ce cours

Calculatrice de dérivée avec étapesCalculatrice d’intégrale (définie et indéfinie)

Cours associés

Exercices pour l’AP CalculusMathématiques pour l’ingénieurÉquations différentiellesMathématiques pour l’ingénieur 2Analyse 2Introduction à la statistiqueStatistique 2 : inférence statistiqueMéthodes numériques
S’entraîner gratuitement sur ce coursS’entraîner sur ce coursPasser un examen blanc5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.