Limites : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : calcul de limites · règle de L’Hôpital · formes indéterminées

Exercices gratuits sur Limites avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : substitution directe et factorisation, limites à l’infini, Règle de L'Hôpital.

Exercice gratuitFacile
xy9x = 9

Trouvez la limite L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facilesubstitution directe et factorisation
  2. Moyenlimites à l’infini
  3. DifficileRègle de L'Hôpital

Formules clés

Substitution directe
essayez d’abord x = a ; 0/0 signifie qu’il faut simplifier
Factoriser et simplifier
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Expression conjuguée
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites à l’infini
divisez par la plus grande puissance de x ; des degrés égaux donnent le rapport des coefficients dominants
Limite remarquable
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Règle de L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Apprendre Limites depuis zéro

1Ce qu’est une limite

Une limite décrit la valeur dont une fonction se rapproche quand x se rapproche d’un certain nombre. Peu importe ce qui se passe exactement en ce nombre.

Prenons f(x) = (x² − 1)/(x − 1). En x = 1, on obtient 0/0, qui n’a pas de valeur. Mais on peut essayer des nombres proches de 1.

  • x = 0,9 donne f = 1,9.
  • x = 0,99 donne f = 1,99.
  • x = 1,01 donne f = 2,01.

Les valeurs se rapprochent de plus en plus de 2. On écrit :

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Le graphique est une droite avec un point manquant, un trou en (1, 2). La limite est la hauteur du trou.

Auto-évaluation Une fonction g vérifie g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 et g(3,01) = 6,01. Elle n’est pas définie en x = 3. Quelle est la limite quand x → 3 ?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Elle n’existe pas, car g(3) n’est pas définie

Réponse: 6. Les valeurs s’approchent de 6 des deux côtés, donc la limite est 6. Une limite ne regarde que les valeurs proches de x = 3, jamais x = 3 lui-même.

2Substitution, 0/0 et factorisation

Essayez toujours d’abord la substitution directe : remplacez par le nombre. Si vous obtenez un nombre ordinaire, c’est la limite.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Si vous obtenez 0/0, vous n’avez pas fini. 0/0 s’appelle une forme indéterminée : c’est un signal pour simplifier, pas une réponse.

En général, le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun qui s’annule en ce point. Factorisez les deux, simplifiez le facteur commun, puis remplacez à nouveau.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Donc la limite quand x → 3 est 3 + 3 = 6. Quelques modèles de factorisation utiles :

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Un trinôme comme x² − x − 30 se factorise en (x − 6)(x + 5) : cherchez deux nombres dont le produit est −30 et la somme −1.

Avec une racine carrée, multipliez le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée : (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Auto-évaluation Combien vaut limx→2 (x² − 4)/(x − 2) ?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Elle n’existe pas, car on obtient 0/0

Réponse: 4. La substitution donne 0/0, donc factorisez : (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, qui vaut 4 en x = 2. S’arrêter à 0/0 est l’erreur à l’origine de « n’existe pas ».

3Limites à l’infini et règle de L’Hôpital

x → ∞ signifie que x croît sans fin. Pour une fraction de polynômes, seules les plus hautes puissances comptent quand x est énorme.

Divisez chaque terme par la plus haute puissance de x au dénominateur. Les termes comme 4/x et 7/x² tendent vers 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Même plus haute puissance en haut et en bas : la limite est le rapport des coefficients dominants.
  • Puissance plus haute au dénominateur : la limite est 0.
  • Puissance plus haute au numérateur : la fraction croît sans fin, il n’y a donc pas de limite finie.

Pour √(x² + 6x) − x, multipliez par l’expression conjuguée. On obtient 6x/(√(x² + 6x) + x), qui tend vers 6/(1 + 1) = 3.

Règle de L’Hôpital : si la substitution donne 0/0 ou ∞/∞, on peut remplacer le numérateur et le dénominateur par leurs dérivées, chacun séparément.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Si l’on obtient à nouveau 0/0, appliquez la règle une fois de plus. Les limites trigonométriques utilisent toujours x en radians.

Auto-évaluation Combien vaut limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x) ?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Réponse: 2. Les plus hautes puissances sont égales (x²), donc la limite est le rapport des coefficients dominants : 4/2 = 2. ½ vient d’une division dans le mauvais sens.

4La méthode pas à pas

  1. Remplacez par le nombre. Un nombre ordinaire est la réponse.
  2. Si vous obtenez 0/0, factorisez le numérateur et le dénominateur, ou multipliez par l’expression conjuguée s’il y a une racine.
  3. Simplifiez le facteur commun et remplacez à nouveau.
  4. Si x → ∞, divisez chaque terme par la plus haute puissance de x et laissez les termes comme a/x tendre vers 0.
  5. Si la factorisation ne fonctionne pas (eˣ, sin, cos, ln), utilisez la règle de L’Hôpital sur la forme 0/0 ou ∞/∞.
  6. Vérifiez avec un nombre très proche du point, par exemple x = 1,001.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Trouvez L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Essayer la substitution

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

C’est la forme indéterminée 0/0, il faut donc simplifier d’abord.

2

Factoriser le numérateur

8 = 2³, donc le numérateur est une somme de cubes avec a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Simplifier le facteur commun

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

C’est permis car x ne fait que s’approcher de −2, donc x + 2 n’est jamais exactement 0.

4

Remplacer à nouveau

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Vérifiez la réponse

Essayez x = −1,99 : (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, ce qui est proche de 12.

xy−212

Le graphique est la parabole x² − 2x + 4 avec un trou en (−2, 12).

Réponse

L = 12

6Erreurs fréquentes

  • Écrire 0/0 comme réponse, ou dire que la limite n’existe pas. 0/0 signifie : simplifier d’abord.
  • Utiliser la règle de L’Hôpital quand la substitution ne donne pas 0/0 ou ∞/∞.
  • Utiliser la formule de dérivation d’un quotient dans la règle de L’Hôpital. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément.
  • À l’infini, comparer les premiers termes écrits au lieu des plus hautes puissances.
  • Utiliser des degrés au lieu de radians dans des limites avec sin ou cos.
Auto-évaluation Combien vaut limx→1 (x² + 1)/(x + 1) ?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Elle n’existe pas

Réponse: 1. La substitution donne 2/2 = 1, un nombre ordinaire, c’est donc la limite. Utiliser L’Hôpital ici (2x/1 = 2) est faux, car la forme n’était pas 0/0.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : substitution directe et factorisation. La substitution donne 0/0, puis vous factorisez et simplifiez, comme dans l’exemple.
  • Moyen : limites à l’infini. Divisez par la plus haute puissance, ou utilisez l’expression conjuguée pour une racine comme √(x² + 4x) − x.
  • Difficile : règle de L’Hôpital, par exemple (eˣ − 1 − x)/x² ou (1 − cos 3x)/x² quand x → 0. Vous pouvez avoir besoin de la règle deux fois.

Une vérification rapide : calculez avec une calculatrice un nombre très proche du point. Le résultat doit être proche de votre réponse.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
xyx = 1

Trouvez la limite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calculer L

Afficher les indices
  1. La substitution donne 0/0. Factorisez le numérateur.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).

Essayer la substitution directe

numérateur → 0 et dénominateur → 0 : la forme est 0/0.

Factoriser et simplifier

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Remplacer

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Réponse

L = 4

C’est la dérivée de xⁿ en x = a : n·aⁿ⁻¹.

Exemple 2Moyen
xyy = L

Trouvez la limite L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Donnez une valeur décimale.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Calculer L

Afficher les indices
  1. La forme est 1^∞. Écrivez L = e^(ln L) et trouvez ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Pour u petit, ln(1 + u) ≈ u. Ici u = 1/x.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).

Prendre le logarithme

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Évaluer

ln(1 + u)/u → 1 quand u → 0, donc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Annuler le logarithme

L = e1 = 2,718

Réponse

L = 2,718
Exemple 3Difficile
xyx = 0

Trouvez la limite L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), avec x en radians.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Calculer L

Afficher les indices
  1. En x = 0 : ln 1 = 0 et sin 0 = 0, la forme est donc 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Remplacez x par 0 dans f′/g′.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).

Règle de L'Hôpital

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Remplacer x par 0

L = 2/3 = 0,6667

Réponse

L = 0,6667

Questions et réponses

Limites : de quoi s’agit-il ?

Une limite décrit la valeur dont une fonction se rapproche quand x se rapproche d’un certain nombre. Peu importe ce qui se passe exactement en ce nombre.

Prenons f(x) = (x² − 1)/(x − 1). En x = 1, on obtient 0/0, qui n’a pas de valeur. Mais on peut essayer des nombres proches de 1.

Limites : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).

Limites : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Gardez tous les termes du second facteur : xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), et en x = a les n termes sont égaux.
  • La forme 1^∞ est indéterminée, elle ne vaut pas 1. Prenez d’abord le logarithme népérien.
  • Gardez la dérivée du numérateur au numérateur : lim f/g = lim f′/g′.
Limites : que couvrent les exercices ?
  • Facile: substitution directe et factorisation
  • Moyen: limites à l’infini
  • Difficile: Règle de L'Hôpital

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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